$$ f(x)=\frac{1}{2}\sqrt{x} $$

Theme: Stammfunktionen einfacher Funktionen

Lösung

---

Schritt 1: Funktion in Potenzschreibweise umformen

Wurzelfunktionen lassen sich als Potenzen schreiben:
\(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\).

Damit wird
\(f(x)=\frac{1}{2}\sqrt{x} = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}\).

Schritt 2: Potenzregel für Stammfunktionen anwenden

Merke (Potenzregel): Für \(x^n\) (mit \(n\neq -1\)) gilt als Stammfunktion:

\(x^n \;\rightarrow\; \frac{x^{n+1}}{n+1}\)

Der Faktor \(\frac{1}{2}\) bleibt dabei einfach als Faktor stehen.

Schritt 3: Exponent erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen

Hier ist \(n=\frac{1}{2}\). Also:

• Exponent erhöhen: \(n+1=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}\)
• Durch \(\frac{3}{2}\) teilen

\(\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}} \;\rightarrow\; \frac{1}{2}\cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C\)

Schritt 4: Bruch vereinfachen

Durch einen Bruch teilen heißt mit seinem Kehrwert multiplizieren:
\(\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}\).

\(\frac{1}{2}\cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}
= \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\,x^{\frac{3}{2}}
= \frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}\)

Schritt 5: Zurück in Wurzelschreibweise (optional)

\(x^{\frac{3}{2}} = x^{1+\frac{1}{2}} = x\cdot x^{\frac{1}{2}} = x\sqrt{x}\).

Damit kann man die Stammfunktion auch als \(\frac{1}{3}x\sqrt{x} + C\) schreiben.