Stammfunktionen einfacher Funktionen

Theme: Stammfunktionen einfacher Funktionen Lösung Gegeben: f(x)=\(\frac{1}{2}\sqrt{x}\) Ziel: Eine Stammfunktion F(x) finden, sodass F'(x)=f(x). Schritt 1: Funktion in Potenzschreibweise umformen Wurzelfunktionen lassen sich als Potenzen schreiben: \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\). Damit wird \(f(x)=\frac{1}{2}\sqrt{x} = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}\). Schritt 2: Potenzregel für Stammfunktionen anwenden Merke (Potenzregel): Für \(x^n\) (mit \(n\neq -1\)) gilt als Stammfunktion: \(x^n \;\rightarrow\; \frac{x^{n+1}}{n+1}\) Der Faktor

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Thema: Stammfunktionen einfacher Funktionen Lösung Gegeben: \( f(x)=2x^{-3} \) Gesucht: Eine Stammfunktion \(F(x)\), also eine Funktion mit \(F'(x)=f(x)\). Schritt 1: Potenzregel für Stammfunktionen erkennen Für Potenzen gilt (für \(n\neq -1\)): Wenn \(f(x)=a\cdot x^n\), dann ist eine Stammfunktion \[ F(x)=a\cdot \frac{x^{n+1}}{n+1}+C. \] Schritt 2: Werte einsetzen Hier ist \(a=2\) und \(n=-3\). Also ist \(n+1=-3+1=-2\). Setze in

Theme: Stammfunktionen einfacher Funktionen Lösung Gegeben: \(f(x)=4x^5-2\) Gesucht: Eine Stammfunktion \(F(x)\) mit \(F'(x)=f(x)\) 1) Grundidee Eine Stammfunktion erhält man, indem man jeden Summanden einzeln integriert. Dabei nutzt man: Potenzregel: \(\displaystyle \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\) (für \(n\neq -1\)) Konstantenregel: \(\displaystyle \int a\,dx=ax+C\) Faktorregel: \(\displaystyle \int k\cdot g(x)\,dx=k\int g(x)\,dx\) 2) Funktion in Summanden aufteilen \[ f(x)=4x^5-2 \] Wir integrieren

Thema: Stammfunktionen einfacher Funktionen Lösung Aufgabe Gegeben ist die Funktion \( f(x)=\frac{4}{x^3} \) Gesucht ist eine Stammfunktion \(F(x)\), also eine Funktion mit \(F'(x)=f(x)\). Schritt 1: Funktion als Potenz schreiben Damit man die Potenzregel fürs Integrieren anwenden kann, schreibt man den Bruch als Potenz: \[ \frac{4}{x^3} = 4 \cdot x^{-3} \] Schritt 2: Konstante ausklammern Die