Aufgabe: Betragsfunktion aus dem Koordinatensystem
Lösung
Gegeben ist die Funktion
\( y=\tfrac12|x-2|+1 \).
Du sollst ihren Graphen ins Koordinatensystem einzeichnen.
1) Grundidee: Betragsfunktion erkennen
Eine Funktion der Form
\( y=a|x-h|+k \)
ist ein V-förmiger Graph.
- \(h\) verschiebt den Graphen nach rechts/links,
- \(k\) verschiebt nach oben/unten,
- \(a\) macht das „V“ steiler oder flacher (und bei negativem \(a\) nach unten geöffnet).
Hier ist \(a=\tfrac12\), \(h=2\), \(k=1\).
2) Scheitelpunkt (Knickpunkt) bestimmen
Der Betrag wird am kleinsten, wenn der Ausdruck innen 0 ist:
\(x-2=0 \Rightarrow x=2\)
Dann ist
\(y=\tfrac12|2-2|+1=\tfrac12\cdot 0+1\)
Also liegt der Scheitelpunkt bei
\(S(2\,|\,1)\).
Diesen Punkt zuerst einzeichnen!
3) Zwei Geradenstücke (links und rechts vom Scheitel)
Für \(x\ge 2\) ist \(x-2\ge 0\), also gilt \( |x-2|=x-2 \).
Dann wird die Funktion:
\(y=\tfrac12(x-2)+1\)
Das ist rechts vom Scheitel eine Gerade mit Steigung \( \tfrac12 \)
(pro 2 nach rechts geht es 1 nach oben).
Für \(x<2\) ist \(x-2<0\), also \( |x-2|=-(x-2)=2-x \).
Dann:
\(y=\tfrac12(2-x)+1\)
Links vom Scheitel ist es ebenfalls eine Gerade, aber fallend (spiegelbildlich).
4) Praktisch zeichnen: Punkte-Tabelle (ohne Taschenrechner)
Wähle ein paar \(x\)-Werte um \(2\) herum, sodass \(x-2\) einfach ist (z.B. \(-2,-1,0,1,2\) als Abstand).
Dann berechnest du jeweils \(y=\tfrac12|x-2|+1\).
| \(x\) | \(|x-2|\) | \(\tfrac12|x-2|\) | \(y=\tfrac12|x-2|+1\) |
|---|---|---|---|
| \(2\) | \(|0|\) | \(\tfrac12\cdot 0\) | \(1\) |
| \(4\) | \(|2|\) | \(\tfrac12\cdot 2\) | \(\;\;\;\;\) |
| \(0\) | \(|-2|\) | \(\tfrac12\cdot 2\) | \(\;\;\;\;\) |
| \(6\) | \(|4|\) | \(\tfrac12\cdot 4\) | \(\;\;\;\;\) |
| \(-2\) | \(|-4|\) | \(\tfrac12\cdot 4\) | \(\;\;\;\;\) |
Aufgabe für dich: Fülle die letzte Spalte aus (die Rechnungen sind alle „halbieren und +1“).
Zeichne dann die Punkte ins Koordinatensystem und verbinde sie:
rechts vom Scheitel als steigende Gerade, links als fallende Gerade.
5) Tipps zum schnellen Zeichnen
- Erst den Scheitelpunkt \(S(2|1)\) eintragen, dann ist die Form klar.
-
Nutze die Steigung \( \tfrac12 \):
Von \(S\) aus: 2 nach rechts, 1 nach oben (Punkt rechts).
Und spiegelbildlich: 2 nach links, 1 nach oben (Punkt links). - Der Graph ist symmetrisch zur Geraden \(x=2\). Wenn du rechts einen Punkt hast, bekommst du links den passenden durch Spiegeln.
Wenn du möchtest, kannst du mir sagen, wie groß dein Koordinatensystem ist (z.B. von \(-5\) bis \(7\)),
dann schlage ich dir passende \(x\)-Werte zum Einzeichnen vor.