Thema: Kopfrechnen mit binomischen Formeln
Lösung
Aufgabe: \(72^2 – 70^2 = \_\_\_\_\).
1) Passende binomische Formel erkennen
Hier steht eine Differenz von Quadraten:
\[
a^2 – b^2
\]
Dafür gilt die binomische Formel:
\[
a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)
\]
2) Werte einsetzen
Setze \(a=72\) und \(b=70\) ein:
\[
72^2 – 70^2 = (72-70)(72+70)
\]
(Das ist genau der Hinweis, der schon in der dritten Zeile steht.)
3) Klammern im Kopf ausrechnen
Rechne zuerst die beiden Klammern:
\[
72-70 = 2
\]
\[
72+70 = 142
\]
Damit wird der Ausdruck zu:
\[
(72-70)(72+70) = 2 \cdot 142
\]
4) Produkt geschickt berechnen
\(2 \cdot 142\) bedeutet: 142 verdoppeln.
Das geht im Kopf sehr leicht:
\(142 = 100 + 40 + 2\)
Verdoppeln:
- \(2\cdot 100 = 200\)
- \(2\cdot 40 = 80\)
- \(2\cdot 2 = 4\)
Dann alles zusammenzählen:
\[
200 + 80 + 4 = \text{(hier setzt du das Ergebnis ein)}
\]
Tipp zum schnelleren Kopfrechnen
Bei \(a^2-b^2\) musst du nicht beide Quadrate ausrechnen.
Stattdessen immer direkt:
- Differenz \(a-b\) bilden (meist klein!)
- Summe \(a+b\) bilden
- Beides multiplizieren
Das spart viel Zeit und Rechenaufwand.