Thema: Kopfrechnen mit binomischen Formeln
Lösung
Aufgabe: \(98 \cdot 92 = \_\_\_\_\).
Hinweis (Umformung): \((95 + 3)(95 – 3)\)
Schritt-für-Schritt-Lösung
1) Erkenne die passende binomische Formel:
\[
(a+b)(a-b) = a^2 – b^2
\]
Das nennt man auch die Differenz von Quadraten.
2) Vergleiche \((95+3)(95-3)\) mit \((a+b)(a-b)\):
Also ist
\[
a = 95 \quad \text{und} \quad b = 3.
\]
3) Setze in die Formel ein:
\[
(95+3)(95-3) = 95^2 – 3^2.
\]
4) Berechne die Quadrate im Kopf:
-
\[
95^2 = (100-5)^2 = 100^2 – 2\cdot100\cdot5 + 5^2
\]
\[
= 10000 – 1000 + 25
\]
(Diesen Ausdruck kannst du jetzt noch zusammenfassen.) -
\[
3^2 = 9
\]
5) Ziehe anschließend \(3^2\) von \(95^2\) ab:
\[
95^2 – 3^2 = \bigl(\text{Ergebnis von }95^2\bigr) – 9.
\]
(Auch das kannst du dann im letzten Schritt ausrechnen.)
Warum passt das zur Aufgabe \(98\cdot 92\)?
Weil \(98 = 95+3\) und \(92 = 95-3\). Du rechnest also geschickt um, damit du eine binomische Formel nutzen kannst.
Tipp fürs schnellere Kopfrechnen
Wähle als \(a\) eine „runde“ Zahl in der Nähe (z.B. 100 oder 50), damit \(a^2\) leicht zu berechnen ist.
Hier ist \(95\) nah an \(100\), daher ist \((100-5)^2\) sehr praktisch.
Jetzt: Fasse in Schritt 4 zuerst \(10000 – 1000 + 25\) zusammen und ziehe danach \(9\) ab, dann hast du das Ergebnis.