Aufgabe
Lösung
Gegeben ist die Gleichung:
\[
\frac{3x + 12}{6} = x + 1
\]
Ziel
Wir wollen die Gleichung nach x auflösen. Dabei machen wir Schritt für Schritt auf beiden Seiten immer dieselbe Operation.
Schritt 1: Bruch entfernen
Der Bruch stört oft. Deshalb multiplizieren wir beide Seiten mit 6 (dem Nenner), damit der Nenner verschwindet:
\[
6 \cdot \frac{3x + 12}{6} = 6 \cdot (x + 1)
\]
Links kürzt sich die 6 weg:
\[
3x + 12 = 6(x + 1)
\]
Schritt 2: Klammer ausmultiplizieren
Jetzt lösen wir die Klammer rechts auf (Distributivgesetz):
\[
6(x + 1) = 6x + 6
\]
Damit wird die Gleichung:
\[
3x + 12 = 6x + 6
\]
Schritt 3: Alle x-Terme auf eine Seite bringen
Wir bringen die Terme mit x auf eine Seite. Zum Beispiel: Wir ziehen auf beiden Seiten 3x ab:
\[
3x + 12 – 3x = 6x + 6 – 3x
\]
Dann bleibt:
\[
12 = 3x + 6
\]
Schritt 4: Konstante Terme auf die andere Seite bringen
Jetzt soll links nur noch eine Zahl stehen und rechts nur noch der x-Term. Wir ziehen daher auf beiden Seiten 6 ab:
\[
12 – 6 = 3x + 6 – 6
\]
Das ergibt:
\[
6 = 3x
\]
Schritt 5: Durch den Faktor vor x teilen
Vor x steht der Faktor 3. Um x allein zu bekommen, teilen wir beide Seiten durch 3:
\[
\frac{6}{3} = \frac{3x}{3}
\]
Rechts bleibt dann nur noch x übrig, links entsteht eine Zahl.
Probe (Tipp)
Wenn du deine Lösung überprüfen willst, setzt du den gefundenen Wert für x in die ursprüngliche Gleichung ein:
- Linke Seite: \(\frac{3x+12}{6}\)
- Rechte Seite: \(x+1\)
Beide Seiten müssen dann denselben Wert ergeben.
Tipps zum leichteren Lösen
- Brüche zuerst entfernen (mit dem Nenner multiplizieren) macht die Rechnung fast immer einfacher.
- Klammern früh ausmultiplizieren, damit du nur noch Summen ausrechnen musst.
- Ordnung halten: erst x-Terme sammeln, dann Zahlen sammeln, dann am Ende teilen.