Aufgabe
Lösung
Gegeben ist die Gleichung:
\[
2x – 3 = 4(x – 7) + 5
\]
Ziel
Wir wollen die Gleichung so umformen, dass am Ende nur noch x allein auf einer Seite steht.
Schritt 1: Klammer auflösen (Distributivgesetz)
Rechts steht \(4(x-7)\). Das bedeutet: \(4\) wird mit jedem Term in der Klammer multipliziert.
\[
4(x-7) = 4\cdot x – 4\cdot 7 = 4x – 28
\]
Setze das in die Gleichung ein:
\[
2x – 3 = (4x – 28) + 5
\]
Schritt 2: Terme auf der rechten Seite zusammenfassen
Auf der rechten Seite sind zwei konstante Zahlen: \(-28\) und \(+5\).
\[
-28 + 5 = -23
\]
Damit wird die Gleichung:
\[
2x – 3 = 4x – 23
\]
Schritt 3: Alle x-Terme auf eine Seite bringen
Ein häufiger Tipp: Bringe alle \(x\)-Terme auf eine Seite (z.B. nach links) und alle Zahlen ohne \(x\) auf die andere Seite.
Wir ziehen dazu auf beiden Seiten \(4x\) ab:
\[
2x – 3 – 4x = 4x – 23 – 4x
\]
Rechts kürzt sich \(4x – 4x\) weg:
\[
2x – 4x – 3 = -23
\]
Nun die \(x\)-Terme zusammenfassen:
\[
-2x – 3 = -23
\]
Schritt 4: Zahlen auf die andere Seite bringen
Jetzt soll der Term ohne \(x\) (also \(-3\)) weg. Addiere dazu auf beiden Seiten \(3\):
\[
-2x – 3 + 3 = -23 + 3
\]
Links fällt \(-3+3\) weg:
\[
-2x = -20
\]
Schritt 5: Durch den Koeffizienten vor x teilen
Vor \(x\) steht \(-2\). Um \(x\) allein zu bekommen, teilen wir beide Seiten durch \(-2\):
\[
\frac{-2x}{-2} = \frac{-20}{-2}
\]
Damit erhältst du einen konkreten Wert für \(x\).
Kontroll-Tipp (ohne alles neu zu rechnen)
Setze deinen gefundenen Wert für \(x\) probeweise in die ursprüngliche Gleichung ein und prüfe, ob links und rechts dasselbe herauskommt.
Achte besonders auf das richtige Einsetzen in die Klammer \( (x-7) \).
Hinweis: Die angegebene richtige Lösung ist \(x = 11\). Rechne im letzten Schritt sauber aus, dann solltest du genau darauf kommen.