Bestimmtes Integral

Aufgabe: Bestimmtes Integral Lösung Gegeben ist das Integral \[ \int_{-2}^{1} (4x^3+2x)\,dx \] und als Stammfunktion (korrekt) ist angegeben: \[ F(x)=x^4+x^2. \] 1) Idee: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Für eine Stammfunktion \(F\) von \(f\) gilt: \[ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a). \] Hier ist \(f(x)=4x^3+2x\), \(a=-2\), \(b=1\). 2) (Kurzer Check) Warum ist \(F(x)=x^4+x^2\) eine Stammfunktion? Ableiten:

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Aufgabe: Bestimmtes Integral Lösung Gegeben ist das bestimmte Integral \(\displaystyle \int_{1}^{3} (2x^3-6x)\,dx\) und eine Stammfunktion \(\displaystyle F(x)=\frac{1}{2}x^4-3x^2\). Schritt 1: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Für eine Stammfunktion \(F\) von \(f\) gilt: \[ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a). \] Hier ist \(f(x)=2x^3-6x\), \(a=1\), \(b=3\). Schritt 2: Stammfunktion an der oberen Grenze auswerten Setze \(x=3\) in \(F(x)=\frac{1}{2}x^4-3x^2\) ein:

Aufgabe: Bestimmtes Integral Lösung Gegeben ist das bestimmte Integral \[ \int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x^2}+3\right)\,dx \] und eine Stammfunktion \[ F(x)=-\frac{1}{x}+3x. \] 1) Idee: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Für eine Stammfunktion \(F\) von \(f\) gilt: \[ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a). \] Hier ist \(f(x)=\frac{1}{x^2}+3\), \(a=1\), \(b=2\). 2) Stammfunktion kurz prüfen (optional, aber hilfreich) Schreibe \(\frac{1}{x^2}\) als Potenz: \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\).

Aufgabe: Bestimmtes Integral Lösung Gegeben ist das Integral \(\displaystyle \int_{1}^{3} (2x + 1)\,dx\). Als Stammfunktion ist angegeben: \(\,F(x)=x^2+x\). Schritt 1: Idee (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) Für ein bestimmtes Integral gilt: \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) – F(a)\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist (also \(F'(x)=f(x)\)). Schritt 2: Prüfen, ob die Stammfunktion passt Wir

Aufgabe: Bestimmtes Integral Lösung Gegeben ist das Integral \(\displaystyle \int_{-1}^{2} (x^3-1)\,dx\) und eine Stammfunktion \(\displaystyle F(x)=\frac{x^4}{4}-x\). 1) Grundidee (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) Für ein bestimmtes Integral gilt: \[ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a), \] wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. Hier ist \(f(x)=x^3-1\), \(a=-1\) und \(b=2\). Also: \[ \int_{-1}^{2} (x^3-1)\,dx = F(2)-F(-1). \] 2)

Aufgabe: Bestimmtes Integral Lösung Gegeben ist das Integral \(\displaystyle \int_{1}^{3} (2x + 1)\,dx\). Als Stammfunktion ist angegeben: \(\,F(x)=x^2+x\). Schritt 1: Idee (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) Für ein bestimmtes Integral gilt: \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) – F(a)\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist (also \(F'(x)=f(x)\)). Schritt 2: Prüfen, ob die Stammfunktion passt Wir

Aufgabe: Bestimmtes Integral Lösung Gegeben ist das Integral \(\displaystyle \int_{1}^{3} (2x + 1)\,dx\). Als Stammfunktion ist angegeben: \(\,F(x)=x^2+x\). Schritt 1: Idee (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) Für ein bestimmtes Integral gilt: \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) – F(a)\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist (also \(F'(x)=f(x)\)). Schritt 2: Prüfen, ob die Stammfunktion passt Wir

Aufgabe: Bestimmtes Integral Lösung Gegeben ist das Integral \(\displaystyle \int_{1}^{3} (2x + 1)\,dx\). Als Stammfunktion ist angegeben: \(\,F(x)=x^2+x\). Schritt 1: Idee (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) Für ein bestimmtes Integral gilt: \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) – F(a)\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist (also \(F'(x)=f(x)\)). Schritt 2: Prüfen, ob die Stammfunktion passt Wir

Aufgabe Lösung Berechne das bestimmte Integral \(\displaystyle \int_{-1}^{1} (x^2+1)\,dx\). Gegeben ist als Stammfunktion: \(\displaystyle F(x)=\frac{x^3}{3}+x\). Vorgehen (Hauptsatz der Integralrechnung) Für ein bestimmtes Integral gilt: \[ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a), \] wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. Schritt 1: Obere Grenze einsetzen (\(x=1\)) Setze \(x=1\) in \(F(x)=\frac{x^3}{3}+x\) ein: \[ F(1)=\frac{1^3}{3}+1. \] Vereinfache: \[ F(1)=\frac{1}{3}+1. \]

Aufgabe: Bestimmtes Integral Lösung Gegeben ist das Integral \(\displaystyle \int_{-1}^{0} (x^2+x)\,dx\) und eine Stammfunktion \(\displaystyle F(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\). Schritt 1: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden Für ein bestimmtes Integral gilt: \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a)\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. Hier ist \(a=-1\) und \(b=0\). Also: \(\displaystyle \int_{-1}^{0} (x^2+x)\,dx = F(0)-F(-1)\). Schritt 2: \(F(0)\)