Aufgabe: Bestimmtes Integral Lösung Gegeben ist das Integral \[ \int_{-1}^{2} (3x^2+2)\,dx \] und als Stammfunktion ist angegeben: \[ F(x)=x^3+2x. \] Schritt 1: Idee (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) Für ein bestimmtes Integral gilt: \[ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a), \] wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. Hier ist \(a=-1\) und \(b=2\). Also brauchst du: \[
$$ \int_{-1}^{2} (3x^2+2)\,dx $$ Weiterlesen »
Aufgabe: Bestimmtes Integral Lösung Gegeben ist das Integral \(\displaystyle \int_{1}^{3} (2x + 1)\,dx\). Als Stammfunktion ist angegeben: \(\,F(x)=x^2+x\). Schritt 1: Idee (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) Für ein bestimmtes Integral gilt: \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) – F(a)\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist (also \(F'(x)=f(x)\)). Schritt 2: Prüfen, ob die Stammfunktion passt Wir
$$ \int_{1}^{e} \frac{1}{x}\,dx $$ Weiterlesen »
Aufgabe: Bestimmtes Integral Lösung Gegeben ist das Integral \(\displaystyle \int_{1}^{3} (2x + 1)\,dx\). Als Stammfunktion ist angegeben: \(\,F(x)=x^2+x\). Schritt 1: Idee (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) Für ein bestimmtes Integral gilt: \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) – F(a)\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist (also \(F'(x)=f(x)\)). Schritt 2: Prüfen, ob die Stammfunktion passt Wir
$$ \int_{1}^{9} \sqrt{x}\,dx $$ Weiterlesen »
Aufgabe Lösung Berechne das bestimmte Integral \[ \int_{0}^{1}\left(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\right)\,dx. \] Als Stammfunktion ist gegeben: \(\,F(x)=\sqrt{x}\). Schritt 1: Integrand verstehen (Potenzschreibweise) Der Integrand ist \[ \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}. \] Beachte: \(x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}\). Das ist bei \(x=0\) nicht definiert, daher handelt es sich um ein uneigentliches Integral. Schritt 2: Uneigentliches Integral als Grenzwert schreiben Weil der Ausdruck bei \(x=0\) problematisch ist,
$$ \int_{0}^{1} \left(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\right)\,dx $$ Weiterlesen »
Thema: Bestimmtes Integral Lösung Aufgabe: \(\displaystyle \int_{1}^{2} (3x^2+2x)\,dx\) Gegebene Stammfunktion (Kontrolle): \(F(x)=x^3+x^2\) 1) Idee: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Für eine Stammfunktion \(F\) von \(f\) gilt: \[ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) – F(a). \] Hier ist \(f(x)=3x^2+2x\), \(a=1\), \(b=2\). 2) Prüfen/Verstehen der Stammfunktion Wir leiten \(F(x)=x^3+x^2\) ab: \[ F'(x) = 3x^2 + 2x. \] Das
$$ \int_{1}^{2} (3x^2+2x)\,dx $$ Weiterlesen »
Aufgabe: Bestimmtes Integral Lösung Gegeben ist das Integral \(\displaystyle \int_{1}^{3} (2x + 1)\,dx\). Als Stammfunktion ist angegeben: \(\,F(x)=x^2+x\). Schritt 1: Idee (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) Für ein bestimmtes Integral gilt: \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) – F(a)\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist (also \(F'(x)=f(x)\)). Schritt 2: Prüfen, ob die Stammfunktion passt Wir
$$ \int_{0}^{2} x^2\,dx $$ Weiterlesen »
