Bestimmtes Integral

Aufgabe: Bestimmtes Integral Lösung Gegeben ist das Integral \(\displaystyle \int_{1}^{3} (2x + 1)\,dx\). Als Stammfunktion ist angegeben: \(\,F(x)=x^2+x\). Schritt 1: Idee (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) Für ein bestimmtes Integral gilt: \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) – F(a)\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist (also \(F'(x)=f(x)\)). Schritt 2: Prüfen, ob die Stammfunktion passt Wir

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Aufgabe Lösung Berechne das bestimmte Integral \(\displaystyle \int_{-1}^{1} (x^2+1)\,dx\). Gegeben ist als Stammfunktion: \(\displaystyle F(x)=\frac{x^3}{3}+x\). Vorgehen (Hauptsatz der Integralrechnung) Für ein bestimmtes Integral gilt: \[ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a), \] wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. Schritt 1: Obere Grenze einsetzen (\(x=1\)) Setze \(x=1\) in \(F(x)=\frac{x^3}{3}+x\) ein: \[ F(1)=\frac{1^3}{3}+1. \] Vereinfache: \[ F(1)=\frac{1}{3}+1. \]

Aufgabe: Bestimmtes Integral Lösung Gegeben ist das Integral \(\displaystyle \int_{-1}^{0} (x^2+x)\,dx\) und eine Stammfunktion \(\displaystyle F(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\). Schritt 1: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden Für ein bestimmtes Integral gilt: \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a)\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. Hier ist \(a=-1\) und \(b=0\). Also: \(\displaystyle \int_{-1}^{0} (x^2+x)\,dx = F(0)-F(-1)\). Schritt 2: \(F(0)\)

Aufgabe: Bestimmtes Integral Lösung Gegeben ist das Integral \[ \int_{-1}^{2} (3x^2+2)\,dx \] und als Stammfunktion ist angegeben: \[ F(x)=x^3+2x. \] Schritt 1: Idee (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) Für ein bestimmtes Integral gilt: \[ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a), \] wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. Hier ist \(a=-1\) und \(b=2\). Also brauchst du: \[

Aufgabe: Bestimmtes Integral Lösung Gegeben ist das Integral \(\displaystyle \int_{1}^{3} (2x + 1)\,dx\). Als Stammfunktion ist angegeben: \(\,F(x)=x^2+x\). Schritt 1: Idee (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) Für ein bestimmtes Integral gilt: \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) – F(a)\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist (also \(F'(x)=f(x)\)). Schritt 2: Prüfen, ob die Stammfunktion passt Wir

Aufgabe: Bestimmtes Integral Lösung Gegeben ist das Integral \(\displaystyle \int_{1}^{3} (2x + 1)\,dx\). Als Stammfunktion ist angegeben: \(\,F(x)=x^2+x\). Schritt 1: Idee (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) Für ein bestimmtes Integral gilt: \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) – F(a)\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist (also \(F'(x)=f(x)\)). Schritt 2: Prüfen, ob die Stammfunktion passt Wir

Aufgabe Lösung Berechne das bestimmte Integral \[ \int_{0}^{1}\left(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\right)\,dx. \] Als Stammfunktion ist gegeben: \(\,F(x)=\sqrt{x}\). Schritt 1: Integrand verstehen (Potenzschreibweise) Der Integrand ist \[ \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}. \] Beachte: \(x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}\). Das ist bei \(x=0\) nicht definiert, daher handelt es sich um ein uneigentliches Integral. Schritt 2: Uneigentliches Integral als Grenzwert schreiben Weil der Ausdruck bei \(x=0\) problematisch ist,

Thema: Bestimmtes Integral Lösung Aufgabe: \(\displaystyle \int_{1}^{2} (3x^2+2x)\,dx\) Gegebene Stammfunktion (Kontrolle): \(F(x)=x^3+x^2\) 1) Idee: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Für eine Stammfunktion \(F\) von \(f\) gilt: \[ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) – F(a). \] Hier ist \(f(x)=3x^2+2x\), \(a=1\), \(b=2\). 2) Prüfen/Verstehen der Stammfunktion Wir leiten \(F(x)=x^3+x^2\) ab: \[ F'(x) = 3x^2 + 2x. \] Das

Aufgabe: Bestimmtes Integral Lösung Gegeben ist das Integral \(\displaystyle \int_{1}^{3} (2x + 1)\,dx\). Als Stammfunktion ist angegeben: \(\,F(x)=x^2+x\). Schritt 1: Idee (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) Für ein bestimmtes Integral gilt: \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) – F(a)\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist (also \(F'(x)=f(x)\)). Schritt 2: Prüfen, ob die Stammfunktion passt Wir