Theme: Stammfunktionen einfacher Funktionen
Lösung
Gegeben: \(f(x)=4x^5-2\)
Gesucht: Eine Stammfunktion \(F(x)\) mit \(F'(x)=f(x)\)
1) Grundidee
Eine Stammfunktion erhält man, indem man jeden Summanden einzeln integriert.
Dabei nutzt man:
- Potenzregel: \(\displaystyle \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\) (für \(n\neq -1\))
- Konstantenregel: \(\displaystyle \int a\,dx=ax+C\)
- Faktorregel: \(\displaystyle \int k\cdot g(x)\,dx=k\int g(x)\,dx\)
2) Funktion in Summanden aufteilen
\[
f(x)=4x^5-2
\]
Wir integrieren also:
\[
\int (4x^5-2)\,dx=\int 4x^5\,dx-\int 2\,dx
\]
3) Ersten Summanden integrieren: \(\int 4x^5\,dx\)
Ziehe zuerst den Faktor \(4\) vor das Integral:
\[
\int 4x^5\,dx = 4\int x^5\,dx
\]
Jetzt Potenzregel mit \(n=5\):
\[
\int x^5\,dx=\frac{x^{6}}{6}
\]
Also:
\[
4\int x^5\,dx = 4\cdot \frac{x^{6}}{6}=\frac{4}{6}x^6=\frac{2}{3}x^6
\]
4) Zweiten Summanden integrieren: \(\int 2\,dx\)
\[
\int 2\,dx = 2x
\]
Da im Original ein Minus steht, wird daraus:
\[
-\int 2\,dx = -2x
\]
5) Zusammensetzen + Integrationskonstante
Die Stammfunktion setzt sich aus beiden Teilen zusammen und am Ende kommt immer \(+C\) dazu:
\[
F(x)=\frac{2}{3}x^6-2x+C
\]
6) Kontrolle (Tipp)
Um zu prüfen, ob es stimmt, leitet man \(F(x)\) ab und schaut, ob wieder \(f(x)\) herauskommt:
- \(\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{3}x^6\right)=\frac{2}{3}\cdot 6x^5=4x^5\)
- \(\frac{d}{dx}(-2x)=-2\)
- \(\frac{d}{dx}(C)=0\)
Zusammengesetzt ergibt das wieder \(4x^5-2\). Damit ist der Rechenweg korrekt.
Hinweis: Du kannst als Merksatz verwenden: „Exponent um 1 erhöhen, dann durch den neuen Exponenten teilen“ (bei Potenzen).