Thema: pq-Formel für quadratische Gleichungen
Lösung
Gegeben ist die Gleichung:
\(4x^2 – 12x + 8 = 0\)
1) In die Normalform für die pq-Formel bringen
Die pq-Formel gilt für Gleichungen der Form
\(x^2 + px + q = 0\).
Deshalb müssen wir zuerst dafür sorgen, dass vor \(x^2\) eine 1 steht.
In unserer Gleichung steht vor \(x^2\) eine 4. Also teilen wir die ganze Gleichung durch 4:
\[
\frac{4x^2 – 12x + 8}{4} = 0
\]
Jetzt jeden Term einzeln durch 4 teilen:
- \(\frac{4x^2}{4} = x^2\)
- \(\frac{-12x}{4} = -3x\)
- \(\frac{8}{4} = 2\)
Damit erhältst du:
\(x^2 – 3x + 2 = 0\)
2) \(p\) und \(q\) ablesen
Vergleiche \(x^2 – 3x + 2 = 0\) mit \(x^2 + px + q = 0\).
Daraus folgt:
- \(p = -3\)
- \(q = 2\)
(Das passt zu den angegebenen Werten.)
3) pq-Formel anwenden
Die pq-Formel lautet:
\[
x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 – q}
\]
Setze \(p=-3\) und \(q=2\) ein:
\[
x_{1,2} = -\frac{-3}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-3}{2}\right)^2 – 2}
\]
4) Schrittweise vereinfachen
Zuerst der Teil vor dem Wurzelzeichen:
\[
-\frac{-3}{2} = \frac{3}{2}
\]
Jetzt der Ausdruck unter der Wurzel:
\[
\left(\frac{-3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}
\]
Also:
\[
\left(\frac{p}{2}\right)^2 – q = \frac{9}{4} – 2
\]
Tipp: Schreibe \(2\) als Bruch mit Nenner 4, damit du subtrahieren kannst:
\[
2 = \frac{8}{4}
\]
Dann wird:
\[
\frac{9}{4} – \frac{8}{4} = \frac{1}{4}
\]
Damit steht unter der Wurzel:
\[
\sqrt{\frac{1}{4}}
\]
5) Lösungen als Terme aufschreiben (ohne Endergebnis auszurechnen)
Setze alles wieder zusammen:
\[
x_{1,2} = \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}}
\]
Jetzt würdest du als letzten Schritt die Wurzel aus \(\frac{1}{4}\) ziehen und dann einmal mit „+“ und einmal mit „−“ rechnen,
um \(x_1\) und \(x_2\) zu erhalten.
Zusatz-Tipp (zum schnellen Prüfen)
Wenn \(q\) positiv ist und \(p\) negativ, sind oft beide Lösungen positiv.
Außerdem kannst du bei \(x^2 – 3x + 2\) auch überlegen, welche zwei Zahlen
sich zu \(-3\) addieren und zu \(2\) multiplizieren – das ist eine schnelle Kontrolle zur pq-Formel.