Aufgabe
Lösung
Schreibe ohne Klammern (Stufe 2):
\(3(x + 4y) – (7x – 6y) + (2 – x)\)
Ziel
Klammern auflösen und anschließend gleichartige Terme zusammenfassen (also alle \(x\)-Terme, alle \(y\)-Terme und die Zahlen getrennt sammeln).
Schritt 1: Erste Klammer mit 3 ausmultiplizieren
Nutze das Distributivgesetz: \(3(x+4y)=3\cdot x + 3\cdot 4y\).
\[
3(x + 4y) = 3x + 12y
\]
Schritt 2: Minus vor der zweiten Klammer beachten
Wichtig: Ein Minus vor einer Klammer bedeutet, dass sich alle Vorzeichen in der Klammer ändern.
Also:
\[
-(7x – 6y) = -7x + 6y
\]
Schritt 3: Dritte Klammer auflösen
Hier steht ein Plus vor der Klammer, also bleiben die Vorzeichen gleich:
\[
+(2 – x) = 2 – x
\]
Schritt 4: Alles ohne Klammern hinschreiben
Setze die Ergebnisse aus Schritt 1–3 in den Ausdruck ein:
\[
3(x + 4y) – (7x – 6y) + (2 – x)
= (3x + 12y) + (-7x + 6y) + (2 – x)
\]
Jetzt kann man die Klammern weglassen, weil nur noch Plus/Minus zwischen einzelnen Termen steht:
\[
= 3x + 12y – 7x + 6y + 2 – x
\]
Schritt 5: Gleichartige Terme zusammenfassen
\(x\)-Terme
Sammle alle Terme mit \(x\):
\[
3x – 7x – x
\]
Rechne die Koeffizienten:
\[
(3 – 7 – 1)x
\]
\(y\)-Terme
Sammle alle Terme mit \(y\):
\[
12y + 6y = (12+6)y
\]
Zahlterme
Hier gibt es nur:
\[
+2
\]
Zusammenfassung (ohne Endergebnis auszurechnen)
Der Ausdruck lässt sich also in die Form bringen:
\[
(3 – 7 – 1)x + (12+6)y + 2
\]
Wenn du jetzt die beiden Klammern bei den Koeffizienten ausrechnest, erhältst du genau die angegebene Lösung.
Tipps
- Minus vor Klammer: Vorzeichen in der Klammer immer komplett umdrehen.
- Ordnung hilft: Schreibe zuerst alle \(x\)-Terme, dann alle \(y\)-Terme, dann die Zahlen.
- Kontrolle: Prüfe nach dem Auflösen, ob jedes Glied aus jeder Klammer wirklich übernommen wurde.