Thema: Ableitung (Formelsammlung)
Lösung
Gegeben ist die Funktion:
\[
f(x)=\sqrt{2x^2}.
\]
Schritt 1: Funktion umschreiben (als Potenz)
Nutze \(\sqrt{u}=u^{\tfrac12}\). Dann gilt:
\[
f(x) = (2x^2)^{\tfrac12}.
\]
Schritt 2: Kettenregel anwenden
Setze die „innere Funktion“ \(u(x)=2x^2\) und die „äußere Funktion“ \(g(u)=u^{\tfrac12}\).
Dann ist
\[
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
\]
2a) Äußere Ableitung
Für \(g(u)=u^{\tfrac12}\) gilt mit der Potenzregel:
\[
g'(u)=\tfrac12\,u^{-\tfrac12}.
\]
2b) Innere Ableitung
Für \(u(x)=2x^2\) gilt:
\[
u'(x)=4x.
\]
Schritt 3: Zusammensetzen
Jetzt alles einsetzen:
\[
f'(x)=\tfrac12\,(2x^2)^{-\tfrac12}\cdot 4x.
\]
Multipliziere die Konstanten \(\tfrac12\cdot 4x = 2x\):
\[
f'(x)=2x\,(2x^2)^{-\tfrac12}.
\]
Schritt 4: Zurück zur Wurzelschreibweise
Da \((2x^2)^{-\tfrac12}=\frac{1}{(2x^2)^{\tfrac12}}=\frac{1}{\sqrt{2x^2}}\), folgt:
\[
f'(x)=\frac{2x}{\sqrt{2x^2}}.
\]
Tipps (ohne alles „fertig auszurechnen“)
- Bei \(\sqrt{\text{(etwas mit }x\text{)}}\) ist die Kettenregel fast immer der richtige Weg.
- \(\sqrt{2x^2}\) kann man auch als \(\sqrt{2}\,|x|\) schreiben. Das zeigt, dass die Funktion wegen \(|x|\) an \(x=0\) besonders ist (Stichwort: Differenzierbarkeit).
- Wenn du vereinfachst: Achte darauf, dass \(\sqrt{x^2}=|x|\) gilt (nicht einfach \(x\)).
(Die angegebene Ableitung stimmt so als Ergebnis der Kettenregel-Form.)