Exponent berechnen mit Logarithmus
Lösung
Aufgabe: \(3^x = 81\)
Schritt-für-Schritt-Lösung
1) Idee: Logarithmus als „Umkehrung“ der Potenz
Ein Logarithmus beantwortet genau die Frage:
„Welche Zahl \(x\) muss ich als Exponent nehmen, damit aus der Basis 3 die Zahl 81 wird?“
Das schreibt man als:
\[
x = \log_3(81)
\]
(Das ist genau die Angabe aus der Lösungsvorgabe.)
2) Ohne Rechner: 81 als Potenz von 3 schreiben
Um \(\log_3(81)\) auszurechnen, ist es am einfachsten, \(81\) als Potenz zur Basis \(3\) darzustellen.
Dazu kann man sich die Potenzen von 3 schrittweise aufbauen:
- \(3^1 = 3\)
- \(3^2 = 3 \cdot 3 = 9\)
- \(3^3 = 3 \cdot 9 = 27\)
- \(3^4 = 3 \cdot 27 = 81\)
Damit hast du gezeigt:
\[
81 = 3^4
\]
3) Gleichsetzen der Exponenten
Die ursprüngliche Gleichung lautet:
\[
3^x = 81
\]
Ersetze nun \(81\) durch \(3^4\):
\[
3^x = 3^4
\]
Wenn zwei Potenzen die gleiche Basis haben (hier: 3) und gleich sind, dann müssen die Exponenten gleich sein:
\[
x = 4
\]
Tipps zum leichteren Lösen
-
Wenn rechts eine „runde“ Zahl steht (wie 81), prüfe zuerst, ob sie eine Potenz der Basis ist.
Das geht oft schneller als mit Logarithmusregeln. - Merke: \(\log_a(a^k) = k\). Sobald du also \(81\) als \(3^k\) schreibst, kennst du sofort den Exponenten.
Hinweis: Den endgültigen Zahlenwert für \(x\) kannst du jetzt selbst als letzten Schritt notieren.