Aufgabe: Bruchgleichungen Stufe 1
Lösung
Gegeben: \(\frac{25x}{5x^2} = 2\) mit der Bedingung \((x \ne 0)\).
1) Definitionsmenge / Einschränkung
Im Nenner steht \(5x^2\). Damit der Bruch überhaupt definiert ist, darf der Nenner nicht \(0\) sein:
\(5x^2 \ne 0 \Rightarrow x^2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 0\).
Diese Bedingung ist bereits angegeben und muss am Ende beachtet werden.
2) Bruch vereinfachen
Schau dir den Bruch an:
\[
\frac{25x}{5x^2}
\]
Man kann Zähler und Nenner durch \(5x\) kürzen (das ist erlaubt, weil \(x \ne 0\)):
- \(25x : 5x = 5\)
- \(5x^2 : 5x = x\)
Damit wird die Gleichung zu:
\[
\frac{5}{x} = 2
\]
3) Bruchgleichung lösen (Nenner entfernen)
Um den Nenner loszuwerden, multipliziert man beide Seiten mit \(x\) (wieder: \(x \ne 0\)):
\[
\frac{5}{x}\cdot x = 2 \cdot x
\]
Links kürzt sich \(x\) weg:
\[
5 = 2x
\]
4) Nach \(x\) auflösen
Jetzt teilst du beide Seiten durch \(2\), um \(x\) allein zu bekommen:
\[
\frac{5}{2} = x
\]
5) Kontrolle (kurz und ohne Taschenrechner)
Setze den gefundenen Wert gedanklich in \(\frac{5}{x} = 2\) ein:
Wenn \(x = \frac{5}{2}\), dann ist \(\frac{5}{x} = \frac{5}{5/2} = 5 \cdot \frac{2}{5} = 2\). Passt also.
Außerdem gilt \(x \ne 0\), und \(\frac{5}{2}\) ist nicht \(0\). Also ist die Lösung zulässig.
Tipp zum schnelleren Vorgehen
Bei solchen Aufgaben lohnt es sich fast immer, den Bruch zuerst zu kürzen (hier mit \(5x\)).
Dann wird aus einer „Bruchgleichung“ schnell eine einfache Gleichung.
Hinweis: Den letzten Wert für \(x\) hast du oben in den Schritten bereits in der Form stehen – du kannst ihn jetzt als Ergebnis notieren.