2^x = 16

Lösung

Thema: Exponent berechnen mit Logarithmus

Aufgabe

\(2^x = 16\)

Idee

Wenn die Unbekannte im Exponenten steht, hilft der Logarithmus:
Aus \(a^x=b\) wird durch Logarithmieren zur Basis \(a\):
\[
x = \log_a(b).
\]
Hier ist \(a=2\) und \(b=16\), also:
\[
x = \log_2(16).
\]

Schritt-für-Schritt-Lösung

1. Starte mit der Gleichung:

   \(2^x = 16\)

2. Wende den Logarithmus zur Basis 2 auf beide Seiten an:

   \(\log_2(2^x) = \log_2(16)\)

3. Nutze die wichtige Logarithmus-Regel:
   \(\log_a(a^x)=x\) (weil Logarithmus und Potenzieren „Umkehrungen“ sind).

   Damit wird links:

   \(\log_2(2^x) = x\)

4. Also erhältst du:

   \(x = \log_2(16)\)

Wie man \(\log_2(16)\) ohne Rechner auswertet (Tipp)

Schreibe \(16\) als Potenz von \(2\). Überlege:

• \(2^1 = 2\)
• \(2^2 = 4\)
• \(2^3 = 8\)
• \(2^4 = 16\)

Da \(16 = 2^4\), gilt:
\[
\log_2(16) = \log_2(2^4).
\]
Mit der Regel \(\log_a(a^k)=k\) kannst du daraus direkt den passenden Exponenten ablesen.

Kontroll-Tipp

Setze deinen gefundenen Wert für \(x\) probeweise in \(2^x\) ein und prüfe,
ob wieder \(16\) herauskommt.

Hinweis: Den endgültigen Zahlenwert für \(x\) kannst du nun aus der obigen Potenzliste ablesen.