Aufgabe: Bruchgleichungen (Stufe 2)
Lösung
Gegeben:
\[
\frac{9}{x-1}+\frac{3}{x+5}=0 \qquad (x\ne 1,\;x\ne -5).
\]
1) Definitionsmenge festlegen
Da im Nenner \(x-1\) und \(x+5\) stehen, dürfen diese nicht 0 werden:
- \(x-1\neq 0 \Rightarrow x\neq 1\)
- \(x+5\neq 0 \Rightarrow x\neq -5\)
2) Auf gemeinsamen Nenner bringen
Der gemeinsame Nenner ist \((x-1)(x+5)\). Multipliziere daher jeden Bruch so, dass er diesen Nenner bekommt:
\[
\frac{9}{x-1}=\frac{9(x+5)}{(x-1)(x+5)},
\qquad
\frac{3}{x+5}=\frac{3(x-1)}{(x+5)(x-1)}.
\]
Damit erhältst du (wie in der Musterlösung angegeben):
\[
\frac{9(x+5)}{(x-1)(x+5)}+\frac{3(x-1)}{(x+5)(x-1)}=0.
\]
3) Brüche zusammenfassen
Jetzt haben beide Brüche denselben Nenner, also kannst du die Zähler addieren:
\[
\frac{9(x+5)+3(x-1)}{(x-1)(x+5)}=0.
\]
4) Wichtige Regel: Wann ist ein Bruch gleich 0?
Ein Bruch ist genau dann 0, wenn der Zähler 0 ist und der Nenner nicht 0 ist.
Der Nenner ist durch die Definitionsmenge schon abgesichert (\(x\neq 1\), \(x\neq -5\)).
Also setzt du den Zähler gleich 0:
\[
9(x+5)+3(x-1)=0.
\]
5) Zähler ausmultiplizieren und zusammenfassen
Multipliziere aus:
\[
9(x+5)=9x+45,
\qquad
3(x-1)=3x-3.
\]
Setze ein:
\[
(9x+45)+(3x-3)=0.
\]
Fasse Gleichartiges zusammen:
\[
9x+3x + 45-3 = 0
\quad\Rightarrow\quad
12x + 42 = 0.
\]
6) Nach \(x\) auflösen (ohne Endergebnis auszurechnen)
Bringe zuerst die 42 auf die andere Seite:
\[
12x = -42.
\]
Teile dann durch 12:
\[
x = \frac{-42}{12}.
\]
7) Kürzen und Probe (Tipp)
Tipp zum leichteren Rechnen: Kürze den Bruch \(\frac{-42}{12}\), indem du Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Teiler teilst (z.B. 6).
So bekommst du eine einfachere Darstellung für \(x\).
Probe: Setze den (gekürzten) Wert für \(x\) in die Ausgangsgleichung
\(\frac{9}{x-1}+\frac{3}{x+5}=0\) ein und prüfe, ob links wirklich 0 herauskommt.
Achte dabei besonders darauf, dass \(x\) nicht 1 oder -5 ist.
Wenn du möchtest, kann ich dir als Nächstes zeigen, wie man die Probe sauber und übersichtlich ohne große Zahlen macht.