Thema: Binomische Formeln \((a \pm b)^2\)
Lösung
Aufgabe
\((22 + 4e)^2\)
Schritt-für-Schritt-Lösung (ohne Endergebnis auszuschreiben)
1) Passende binomische Formel auswählen
Hier steht ein Plus in der Klammer, also verwenden wir:
\[
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]
2) a und b festlegen
Vergleiche \((22 + 4e)^2\) mit \((a+b)^2\):
- \(a = 22\)
- \(b = 4e\)
3) In die Formel einsetzen
\[
(22 + 4e)^2 = 22^2 + 2\cdot 22 \cdot (4e) + (4e)^2
\]
4) Jeden Term einzeln ausrechnen
a) Erster Term: \(22^2\)
\[
22^2 = 22\cdot 22
\]
(Das kannst du z.B. als \((20+2)^2\) sehen oder direkt multiplizieren.)
b) Mittlerer Term: \(2\cdot 22 \cdot (4e)\)
Rechne zuerst die Zahlen:
\[
2\cdot 22 \cdot 4 = (2\cdot 22)\cdot 4 = 44\cdot 4
\]
Danach hängt noch das \(e\) dran:
\[
2\cdot 22 \cdot (4e) = (2\cdot 22 \cdot 4)\,e
\]
c) Letzter Term: \((4e)^2
Hier wird alles quadriert:
\[
(4e)^2 = 4^2 \cdot e^2
\]
5) Terme zusammen aufschreiben
Setze die drei berechneten Teile wieder zusammen:
\[
(22 + 4e)^2 = \underbrace{22^2}_{\text{Zahl}} + \underbrace{2\cdot 22 \cdot (4e)}_{\text{e-Term}} + \underbrace{(4e)^2}_{\text{e}^2\text{-Term}}
\]
Tipps
-
Bei \((a+b)^2\) entsteht immer die Struktur: Quadrat – Doppelprodukt – Quadrat, also
\(a^2\), dann \(2ab\), dann \(b^2\). -
Beim Quadrieren von Klammern wie \((4e)^2\) nicht vergessen:
\(\; (4e)^2 = 4^2\cdot e^2\) (also auch das \(e\) wird quadriert). - Achte darauf, dass der mittlere Term wirklich 2 · a · b ist (nicht nur \(a\cdot b\)).
Wenn du möchtest, kannst du mir deine ausgerechneten drei Teilwerte (\(22^2\), \(2\cdot 22\cdot 4\) und \(4^2\))
schicken, dann prüfe ich, ob alles korrekt zusammengesetzt ist.