Aufgabe: Darstellung in der Form (a ± b)²
Lösung
Gegeben: \(x^2 + 16x + 64\)
1) Passende binomische Formel erkennen
Die binomischen Formeln lauten:
- \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
- \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)
Da der mittlere Term bei uns positiv ist (\(+16x\)), passt die Form
\((a+b)^2\).
2) Terme zuordnen
Vergleiche \(x^2 + 16x + 64\) mit \(a^2 + 2ab + b^2\):
- \(a^2\) entspricht \(x^2\) → also ist \(a = x\).
- \(b^2\) entspricht \(64\) → also ist \(b = \sqrt{64} = 8\).
3) Prüfen, ob der mittlere Term passt
Der mittlere Term müsste dann \(2ab = 2 \cdot x \cdot 8 = 16x\) sein.
Genau das steht in der Aufgabe. Also ist die Zuordnung korrekt.
4) In Klammerform schreiben (ohne Endergebnis auszuschreiben)
Damit hat der Ausdruck die Form \((a+b)^2\) mit \(a=x\) und \(b=8\),
also \((x + 8)^2\).
Tipps zum schnelleren Vorgehen
- Bei \(x^2 + px + q\): Wenn \(q\) ein Quadrat ist (z.B. \(64 = 8^2\)), ist das ein guter Hinweis auf ein Binom.
- Wenn \(q = b^2\), dann muss der mittlere Term \(2bx\) sein. Hier: \(2 \cdot 8 \cdot x = 16x\).
- Ist der mittlere Term positiv, nimm \((x+b)^2\); ist er negativ, nimm \((x-b)^2\).
Hinweis: Die angegebene korrekte Lösung lautet \((x+8)^2\). Versuche, die Schritte oben selbst nachzuvollziehen.