Direkt proportionale Zuordnungen
Lösung
Gegeben ist eine direkt proportionale Zuordnung zwischen Zeit (in Stunden) und Verdienst (in Euro):
| Zeit (h) | Verdienst (€) |
|---|---|
| 12 | 126 |
| 1,5 | x |
1) Was bedeutet „direkt proportional“?
Direkt proportional heißt: Wenn sich die Zeit mit einem Faktor ändert, ändert sich der Verdienst mit dem gleichen Faktor.
Mathematisch kann man das so schreiben:
\( \text{Verdienst} = k \cdot \text{Zeit} \)
Dabei ist \(k\) der Stundenlohn (Euro pro Stunde).
2) Zuerst den Proportionalitätsfaktor (Stundenlohn) bestimmen
Aus der Zeile mit 12 Stunden und 126 €:
\( k = \dfrac{126}{12} \)
Diese Division kann man ohne Taschenrechner vereinfachen:
- Beide Zahlen durch 6 teilen: \(126:6=21\) und \(12:6=2\)
- Dann gilt: \( \dfrac{126}{12} = \dfrac{21}{2} \)
- Und \( \dfrac{21}{2} = 10{,}5 \)
Damit ist der Stundenlohn \(k = 10{,}5\) € pro Stunde.
3) Damit den Verdienst für 1,5 Stunden berechnen
Nun setzt du in \( \text{Verdienst} = k \cdot \text{Zeit} \) ein:
\( x = 10{,}5 \cdot 1{,}5 \)
Rechentipp (ohne Komma ist es oft leichter):
- Schreibe \(1{,}5 = \dfrac{3}{2}\)
- Dann: \( x = 10{,}5 \cdot \dfrac{3}{2} \)
- Auch \(10{,}5 = \dfrac{21}{2}\), also:
\( x = \dfrac{21}{2} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{63}{4} \)
- Jetzt \( \dfrac{63}{4} \) als Dezimalzahl:
\( 63 : 4 = 15 \) Rest \(3\), und \( \dfrac{3}{4} = 0{,}75 \)
- Also: \( \dfrac{63}{4} = 15{,}75 \)
4) Ergebnis prüfen (Plausibilität)
1,5 Stunden sind deutlich weniger als 12 Stunden, also muss der Verdienst deutlich kleiner als 126 € sein.
Ein Wert um 15–16 € passt gut, weil 1 Stunde 10,5 € bringt und eine halbe Stunde nochmal die Hälfte davon.
Hinweis: Den letzten Zahlenwert für \(x\) kannst du nun selbst in die Tabelle eintragen.