Startseite » Seite 4

Leonie

$$ f(x) = \sqrt{2x^2} $$

Thema: Ableitung (Formelsammlung) Lösung Gegeben ist die Funktion: \[ f(x)=\sqrt{2x^2}. \] Schritt 1: Funktion umschreiben (als Potenz) Nutze \(\sqrt{u}=u^{\tfrac12}\). Dann gilt: \[ f(x) = (2x^2)^{\tfrac12}. \] Schritt 2: Kettenregel anwenden Setze die „innere Funktion“ \(u(x)=2x^2\) und die „äußere Funktion“ \(g(u)=u^{\tfrac12}\). Dann ist \[ f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x). \] 2a) Äußere Ableitung Für \(g(u)=u^{\tfrac12}\) gilt mit der Potenzregel:

Weiterlesen »

$$ f(x) = \sqrt{2x^2} $$ Weiterlesen »

$$ f(x) = \log_a (x^2) $$

Thema: Ableitung (Formelsammlung) Lösung Gegeben: \( f(x) = \log_a(x^2) \) 1) Wichtige Umformung (Basiswechsel) Für Logarithmen zur Basis \(a\) ist es oft am einfachsten, zuerst die Basiswechsel-Formel zu benutzen: \[ \log_a(u) = \frac{\ln(u)}{\ln(a)} \] Dabei ist \(u\) eine Funktion von \(x\). Hier gilt \(u(x)=x^2\). Also: \[ f(x) = \log_a(x^2) = \frac{\ln(x^2)}{\ln(a)} \] 2) Konstante ausklammern

$$ f(x) = \log_a (x^2) $$ Weiterlesen »

$$ \int_{1}^{3} (2x^3-6x)\,dx $$

Aufgabe: Bestimmtes Integral Lösung Gegeben ist das bestimmte Integral \(\displaystyle \int_{1}^{3} (2x^3-6x)\,dx\) und eine Stammfunktion \(\displaystyle F(x)=\frac{1}{2}x^4-3x^2\). Schritt 1: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Für eine Stammfunktion \(F\) von \(f\) gilt: \[ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a). \] Hier ist \(f(x)=2x^3-6x\), \(a=1\), \(b=3\). Schritt 2: Stammfunktion an der oberen Grenze auswerten Setze \(x=3\) in \(F(x)=\frac{1}{2}x^4-3x^2\) ein:

$$ \int_{1}^{3} (2x^3-6x)\,dx $$ Weiterlesen »

$$ \int_{-2}^{1} (4x^3+2x)\,dx $$

Aufgabe: Bestimmtes Integral Lösung Gegeben ist das Integral \[ \int_{-2}^{1} (4x^3+2x)\,dx \] und als Stammfunktion (korrekt) ist angegeben: \[ F(x)=x^4+x^2. \] 1) Idee: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Für eine Stammfunktion \(F\) von \(f\) gilt: \[ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a). \] Hier ist \(f(x)=4x^3+2x\), \(a=-2\), \(b=1\). 2) (Kurzer Check) Warum ist \(F(x)=x^4+x^2\) eine Stammfunktion? Ableiten:

$$ \int_{-2}^{1} (4x^3+2x)\,dx $$ Weiterlesen »

$$ y = e^{5x-1} $$

Thema: E-Funktion ableiten (Kettenregel) Lösung Gegeben: \(y = e^{5x-1}\) Schritt 1: Struktur erkennen Die Funktion hat die Form \(y = e^{u(x)}\) mit einer „inneren Funktion“ \(u(x)\). Hier ist: \[ u(x) = 5x – 1 \] Schritt 2: Passende Regel auswählen Für \(y = e^{u(x)}\) gilt die Kettenregel: \[ \frac{d}{dx}\left(e^{u(x)}\right) = e^{u(x)} \cdot u'(x) \] Schritt

$$ y = e^{5x-1} $$ Weiterlesen »

$$ \frac{18}{75} $$

Thema: Brüche in Prozente umwandeln Lösung Aufgabe: Wandle den Bruch \(\frac{18}{75}\) in Prozent um. Schritt 1: Idee verstehen „Prozent“ bedeutet „von 100“. Also ist es praktisch, den Bruch so umzuschreiben, dass im Nenner (unten) 100 steht. Schritt 2: Bruch kürzen (macht es oft leichter) Wir kürzen \(\frac{18}{75}\), indem wir Zähler und Nenner durch eine gemeinsame

$$ \frac{18}{75} $$ Weiterlesen »

$$ y = e^{x+8} $$

Thema: E-Funktion ableiten Lösung Aufgabe: \(y = e^{x+8}\) Gegebenes Ergebnis (zur Kontrolle): \(y‘ = e^{x+8}\cdot 1\) Schritt-für-Schritt-Lösung 1) Äußere und innere Funktion erkennen (Kettenregel) Die Funktion hat die Form \[ y = e^{u(x)} \] wobei die innere Funktion \[ u(x) = x+8 \] ist. 2) Ableitungsregel für die äußere Funktion Für die Exponentialfunktion gilt: \[

$$ y = e^{x+8} $$ Weiterlesen »

$$ y = e^x \times x^{17} $$

Thema: E-Funktion Ableitung (Produktregel) Lösung Gegeben: \(y = e^x \cdot x^{17}\) 1) Erkennen der Struktur Die Funktion ist ein Produkt aus zwei Faktoren: \(f(x) = e^x\) \(g(x) = x^{17}\) Daher benutzt man die Produktregel: \[ (f\cdot g)‘ = f’\cdot g + f\cdot g‘ \] 2) Einzelne Ableitungen bilden Zuerst leiten wir beide Teile getrennt ab:

$$ y = e^x \times x^{17} $$ Weiterlesen »