Thema: E-Funktion ableiten Lösung Gegeben: \(y = e^{3x}\) Gesucht: \(y’\) Schritt-für-Schritt-Lösung Hier liegt eine verkettete Funktion vor, weil im Exponenten nicht nur \(x\) steht, sondern \(3x\). Deshalb benutzt man die Kettenregel. 1) Äußere und innere Funktion erkennen Schreibe \(y\) als: \[ y = e^{u} \quad \text{mit} \quad u = 3x \] Äußere Funktion: \(f(u) =
$$ y = e^{3x} $$ Weiterlesen »
Thema: E-Funktion Ableitung (Produktregel) Lösung Gegeben: \( y = e^x \cdot x^{14} \) 1) Erkennen der Struktur Die Funktion ist ein Produkt aus zwei Faktoren: \(f(x) = e^x\) \(g(x) = x^{14}\) Wenn zwei Funktionen multipliziert werden, benutzt man die Produktregel. 2) Produktregel aufschreiben \[ (f \cdot g)‘ = f‘ \cdot g + f \cdot g‘
$$ y = e^x \times x^{14} $$ Weiterlesen »
Thema: E-Funktion Ableitung (Produktregel) Lösung Gegeben: \( y = e^x \cdot x^{11} \) 1) Welche Regel braucht man? Hier wird ein Produkt aus zwei Funktionen abgeleitet: \(u(x)=e^x\) und \(v(x)=x^{11}\). Dafür nutzt man die Produktregel: \( (u\cdot v)‘ = u’\cdot v + u\cdot v‘ \) 2) Einzelne Ableitungen bestimmen Erster Faktor: \(u(x)=e^x\) Die Ableitung von \(e^x\)
$$ y = e^x \times x^{11} $$ Weiterlesen »
E-Funktion Ableitung Lösung Gegeben ist die Funktion y = ex · x5 1) Welche Regel braucht man? Hier wird ein Produkt aus zwei Funktionen abgeleitet: u(x) = ex v(x) = x5 Dafür nutzt man die Produktregel: (u · v)‘ = u‘ · v + u · v‘ 2) Einzelableitungen bestimmen a) Ableitung von u(x) =
$$ y = e^x \times x^5 $$ Weiterlesen »
Thema: E-Funktion – Ableitung Lösung Aufgabe Gegeben ist die Funktion y = ex. Bestimme die Ableitung y‘. Schritt-für-Schritt-Lösung 1) Erkennen der Funktionsart Die Funktion ex ist eine Exponentialfunktion zur Basis e. Diese spezielle Exponentialfunktion hat eine besonders einfache Ableitungsregel. 2) Wichtige Grundregel Eine der wichtigsten Ableitungsregeln lautet: (ex)‘ = ex Das bedeutet: Wenn du ex
E-Funktion Ableitung: \(y = e^x \cdot x^6\) Lösung Hier hast du eine Produktfunktion, also ein Produkt aus zwei Funktionen: \(f(x) = e^x\) \(g(x) = x^6\) 1) Passende Regel: Produktregel Für \(y = f(x)\cdot g(x)\) gilt: \[ y‘ = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x) \] 2) Einzelne Ableitungen bestimmen Ableitung von \(f(x)=e^x\): Die e-Funktion ist besonders:
$$ y = e^x \times x^6 $$ Weiterlesen »
Thema: Sinus ableiten (Kettenregel) Lösung Gegeben \( y = 18 \cdot \sin\!\left(\tfrac{1}{6}x\right) \) Ziel Bestimme \(y’\). Schritt 1: Äußere und innere Funktion erkennen Hier ist die Funktion eine Verkettung: Äußere Funktion: \( \sin(u) \) Innere Funktion: \( u(x) = \tfrac{1}{6}x \) Zusätzlicher Faktor vor der Sinusfunktion: \(18\) Schritt 2: Ableitungsregeln notieren Faktorregel: \(\frac{d}{dx}\big(c \cdot f(x)\big)
$$ y = 18 \times \sin(\tfrac{1}{6}x) $$ Weiterlesen »
Lösung Thema: Ableitung mit \(\sin x\) Gegeben: \[ f(x)=(6-x)\cdot \sin x \] 1) Welche Regel braucht man? Da \(f(x)\) ein Produkt aus zwei Funktionen ist, benutzt man die Produktregel: \[ (u\cdot v)‘ = u’\cdot v + u\cdot v‘ \] 2) Funktionen aufteilen Setze: \[ u(x)=6-x \qquad\text{und}\qquad v(x)=\sin x \] 3) Einzelne Ableitungen bilden Ableitung von
$$ f(x) = (6- x) \times \sin x $$ Weiterlesen »
Thema: Ableitung (Formelsammlung) – Kettenregel Lösung Gegeben ist die Funktion: \[ f(x)=\cos(10x^3) \] 1) Struktur erkennen (äußere und innere Funktion) Die Funktion ist eine Verkettung (Komposition). Man kann sie so lesen: Äußere Funktion: \(\cos(u)\) Innere Funktion: \(u(x)=10x^3\) 2) Kettenregel anwenden Die Kettenregel lautet: \[ \frac{d}{dx}\cos(u(x)) = -\sin(u(x))\cdot u'(x) \] Übertragen auf diese Aufgabe ergibt das
$$ f(x) = \cos (10x^3) $$ Weiterlesen »
Lösung Thema: Ableitung von cos(x) (Produktregel) Aufgabe: Gegeben ist \(f(x)=x^5\cdot \cos x\). Bestimme \(f'(x)\). Schritt 1: Erkennen, welche Regel nötig ist \(f(x)\) ist ein Produkt aus zwei Funktionen: \(u(x)=x^5\) \(v(x)=\cos x\) Daher benutzt man die Produktregel: \[ (u\cdot v)‘ = u’\cdot v + u\cdot v‘ \] Schritt 2: Die einzelnen Ableitungen bilden Zuerst \(u(x)=x^5\): \[
$$ f(x) = x^5 \times \cos x $$ Weiterlesen »
