Gegeben
Lösung
\[
\frac{10}{x-2}-\frac{5}{3x+1}=0
\qquad (x\ne 2,\;x\ne -\tfrac{1}{3})
\]
1) Definitionsmenge (wichtiger erster Schritt)
Da Nenner nie 0 sein dürfen:
- \(x-2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 2\)
- \(3x+1 \ne 0 \Rightarrow x \ne -\tfrac{1}{3}\)
Diese Werte werden am Ende ausgeschlossen (auch wenn sie beim Rechnen „auftauchen“ würden).
2) Hauptnenner bilden und Brüche beseitigen
Der Hauptnenner ist \((x-2)(3x+1)\). Multipliziere die ganze Gleichung damit:
\[
(x-2)(3x+1)\left(\frac{10}{x-2}-\frac{5}{3x+1}\right)=(x-2)(3x+1)\cdot 0
\]
Rechts bleibt \(0\). Links kürzt sich jeweils ein Faktor:
\[
10(3x+1) – 5(x-2) = 0
\]
3) Ausmultiplizieren und zusammenfassen
Jetzt beide Klammern ausmultiplizieren:
\[
10(3x+1)=30x+10
\]
\[
5(x-2)=5x-10
\]
In die Gleichung einsetzen (achte auf das Minus vor der zweiten Klammer!):
\[
(30x+10) – (5x-10) = 0
\]
Minus verteilen:
\[
30x+10 -5x +10 = 0
\]
Gleichartige Terme zusammenfassen:
\[
25x + 20 = 0
\]
4) Nach \(x\) auflösen
Bringe zuerst die Konstante auf die andere Seite:
\[
25x = -20
\]
Dann durch \(25\) teilen:
\[
x = \frac{-20}{25}
\]
Tipp zum Kürzen ohne Taschenrechner: Beide Zahlen sind durch \(5\) teilbar.
Teile Zähler und Nenner durch \(5\):
\[
x = \frac{-20:5}{25:5}
\]
(Hier kannst du den gekürzten Bruch dann leicht ablesen.)
5) Probe & Ausschluss der verbotenen Werte
Prüfe zum Schluss zwei Dinge:
- Ist dein \(x\) zufällig \(2\) oder \(-\tfrac{1}{3}\)? Dann wäre es nicht erlaubt.
-
Setze dein \(x\) in die ursprüngliche Gleichung ein und kontrolliere, ob wirklich \(0\) herauskommt.
Dabei ist es oft am einfachsten, die beiden Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.
Merktipp
Bei Bruchgleichungen ist der Standardweg fast immer:
Definitionsmenge → mit Hauptnenner multiplizieren → vereinfachen → lösen → Probe.