Aufgabe: Bestimmtes Integral Lösung Gegeben ist das Integral \(\displaystyle \int_{1}^{3} (2x + 1)\,dx\). Als Stammfunktion ist angegeben: \(\,F(x)=x^2+x\). Schritt 1: Idee (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) Für ein bestimmtes Integral gilt: \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) – F(a)\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist (also \(F'(x)=f(x)\)). Schritt 2: Prüfen, ob die Stammfunktion passt Wir
$$ \int_{0}^{2} x^2\,dx $$ Weiterlesen »
Aufgabe Lösung Wandle den Bruch \(\frac{41}{1000}\) in eine Dezimalzahl um. Schritt-für-Schritt-Lösung (ohne Endergebnis) 1) Bedeutung des Nenners verstehen Der Nenner ist 1000. Das bedeutet: Der Bruch beschreibt 41 Tausendstel. 2) Regel für Nenner 10, 100, 1000 Bei einem Nenner 10 setzt man das Komma 1 Stelle nach links, bei 100 2 Stellen nach links, bei
$$ \frac{41}{1000} $$ Weiterlesen »
Thema: Potenzen (Stufe 1) Lösung Aufgabe: \(2^0\) Schritt-für-Schritt-Lösung (ohne Endergebnis auszuschreiben) 1) Merksatz für den Exponenten 0 Für jede Zahl \(a\), die nicht \(0\) ist, gilt: \[ a^0 = 1 \] Das ist eine Grundregel der Potenzen. 2) Warum gilt das? (kurze Begründung mit Potenzgesetzen) Ein wichtiges Potenzgesetz lautet: \[ a^m : a^n = a^{m-n}
Aufgabe: Wurzeln Lösung Gegeben: \(\sqrt{0{,}0676}\) Schritt-für-Schritt-Lösung (ohne Taschenrechner) 1) Dezimalzahl als Bruch schreiben \(0{,}0676\) hat 4 Nachkommastellen, also: \[ 0{,}0676 = \frac{676}{10000} \] 2) Wurzel auf Zähler und Nenner anwenden \[ \sqrt{0{,}0676} = \sqrt{\frac{676}{10000}} = \frac{\sqrt{676}}{\sqrt{10000}} \] 3) Die beiden Wurzeln getrennt berechnen Den Nenner kann man leicht: \[ \sqrt{10000} = 100 \] (denn \(100^2
$$ \sqrt{0.0676} $$ Weiterlesen »
Multiplizieren von Summen Lösung Um den Ausdruck (6x2y – 9xy2)(3y2x + 2xy2) zu lösen, verwenden wir die Distributivgesetz, auch bekannt als das Ausmultiplizieren. Dabei multiplizieren wir jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer. Schritte zur Lösung: Multipliziere das erste Glied der ersten Klammer 6x2y mit jedem Glied der zweiten Klammer: 6x2y
(6x2y – 9xy2)(3y2x + 2xy2) = ____ Weiterlesen »
Multiplizieren von Summen Lösung Wir haben die Aufgabe, die beiden Ausdrücke zu multiplizieren: (x2y2 – 6xy3)(-3yx – 4xy2) Um dies zu tun, verwenden wir die Distributivgesetzregel (auch bekannt als das Ausklammern), die besagt, dass wir jeden Term des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks multiplizieren müssen. Schritte zur Lösung: Multiplizieren Sie den ersten
(x2y2 – 6xy3)(-3yx – 4xy2) = ____ Weiterlesen »
Klammern auflösen und zusammenfassen Lösung In dieser Aufgabe sollen wir den Ausdruck 7(a – 3b) + (2a + 5b – 1) – (4a + b – 3) ohne Klammern schreiben und vereinfachen. Schritt-für-Schritt-Anleitung Klammern auflösen: Verteile die Zahl vor der Klammer auf jeden Term innerhalb der Klammer. Für 7(a – 3b) bedeutet das: 7 *
$$ 7(a – 3b) + (2a + 5b – 1) – (4a + b – 3) $$ Weiterlesen »
Kopfrechnen mit binomischen Formeln Lösung Wir wollen die Zahl 11² berechnen, indem wir die binomische Formel verwenden. Die allgemeine Form der binomischen Formel lautet: (a + b)² = a² + 2ab + b² In unserem Fall setzen wir a = 10 und b = 1, da 11 = 10 + 1. Also haben wir: (10
Kopfrechnen mit binomischen Formeln Lösung Um die Aufgabe 33² zu lösen, können wir die binomische Formel anwenden. Genauer gesagt, verwenden wir die erste binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b² In unserem Fall setzen wir a = 30 und b = 3 ein. Dann ergibt sich: 33² = (30 + 3)²
Kopfrechnen mit binomischen Formeln Lösung Gegeben ist die Aufgabe: 88² = ____ Wir nutzen die zweite binomische Formel, um die Berechnung zu vereinfachen: \((a – b)² = a² – 2ab + b²\) Setzen wir \(a = 90\) und \(b = 2\) ein: \((90 – 2)² = 90² – 2 \cdot 90 \cdot 2 + 2²\)
