Aufgabe Lösung Gesucht ist die Differenz von -1,5 und -4,0. Wichtige Regel „Die Differenz von a und b“ bedeutet immer: a − b Also wird hier gerechnet: -1,5 − (-4,0) Schritt-für-Schritt-Lösung Minus minus wird plus: -1,5 − (-4,0) = -1,5 + 4,0 Jetzt addieren (4,0 ist größer als 1,5, also wird das Ergebnis positiv): -1,5
$$ \text{Differenz von } -1{,}5 \text{ und } -4{,}0 $$ Weiterlesen »
Thema: Sinus ableiten (Kettenregel) Lösung Gegeben \( y = 35 \cdot \sin\!\left(\tfrac{3}{5}x\right) \) (Kontroll-Ergebnis: \( y‘ = 21 \cdot \cos\!\left(\tfrac{3}{5}x\right) \)) Schritt 1: Äußere und innere Funktion erkennen Die Funktion hat die Form „Konstante · sin( … )“. Wichtig ist, dass im Sinus nicht einfach \(x\) steht, sondern \( \tfrac{3}{5}x \). Das bedeutet: Wir brauchen
$$ y = 35 \times \sin(\tfrac{3}{5}x) $$ Weiterlesen »
Lösung Thema: Ableitung von sin(x) Gegeben: \(y = 32 \cdot \sin(1{,}2x)\) Ziel: \(y’\) mit allen Rechenschritten bestimmen. 1) Wichtige Ableitungsregeln Konstantenfaktorregel: \(\frac{d}{dx}\big(c \cdot f(x)\big) = c \cdot f'(x)\) Ableitung von Sinus: \(\frac{d}{dx}(\sin(u)) = \cos(u)\cdot u’\) (das ist die Kettenregel) 2) Funktion in „außen“ und „innen“ zerlegen (Kettenregel) Wir erkennen: Äußere Funktion: \(\sin(\,\square\,)\) Innere Funktion:
$$ y = 32 \times \sin(1.2x) $$ Weiterlesen »
Thema: Sinus ableiten (mit Kettenregel) Lösung Gegeben: \( y = 13 \cdot \sin\!\left(\tfrac{4}{5}x\right) \) Schritt 1: Äußere und innere Funktion erkennen Hier liegt eine verkettete Funktion vor: Äußere Funktion: \( \sin(u) \) Innere Funktion: \( u(x) = \tfrac{4}{5}x \) Schritt 2: Kettenregel aufschreiben Die Kettenregel lautet: \[ \frac{d}{dx}\sin(u(x)) = \cos(u(x)) \cdot u'(x) \] Schritt 3:
$$ y = 13 \times \sin(\tfrac{4}{5}x) $$ Weiterlesen »
Thema: Ableitung von sin(x) (Kettenregel) Lösung Gegeben \( y = 36 \cdot \sin(10x) \) Ziel Bestimme die Ableitung \(y’\). Schritt 1: Struktur erkennen (äußere und innere Funktion) Die Funktion ist eine Verkettung: Äußere Funktion: \( \sin(u) \) Innere Funktion: \( u = 10x \) Zusätzlicher Faktor davor: \(36\) Schritt 2: Ableitungsregeln notieren Faktorregel: \(\frac{d}{dx}\big(36 \cdot
$$ y = 36 \times \sin(10x) $$ Weiterlesen »
Lösung Thema: Ableitung mit cos(x) (Produktregel) Gegeben: \( f(x) = (x^5 + 1)\cdot \cos x \) 1) Erkennen der Struktur Die Funktion ist ein Produkt aus zwei Faktoren: \(u(x) = x^5 + 1\) \(v(x) = \cos x\) 2) Produktregel anwenden Für \(f(x)=u(x)\cdot v(x)\) gilt die Produktregel: \( f'(x) = u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x) \)
$$ f(x) = (x^5 + 1)\times \cos x $$ Weiterlesen »
Thema: Ableitung mit \(\cos(x)\) (Produktregel) Lösung Gegeben: \[ f(x) = (x^4 – 2x)\cdot \cos x \] 1) Passende Regel erkennen Die Funktion ist ein Produkt aus zwei Faktoren: \(u(x) = x^4 – 2x\) \(v(x) = \cos x\) Daher benutzt man die Produktregel: \[ (u\cdot v)‘ = u’\cdot v + u\cdot v‘ \] 2) Einzelne Ableitungen
$$ f(x) = (x^4-2x) \times \cos x $$ Weiterlesen »
Aufgabe: Lineare Funktion im Koordinatensystem zeichnen Lösung Gegeben ist die Funktion: \( y = \tfrac{3}{2}x – 1 \). 1) Form erkennen: \(y = mx + b\) Eine lineare Funktion hat die Form \(y = mx + b\). Dabei gilt: \(m\) = Steigung (wie stark die Gerade steigt oder fällt) \(b\) = y-Achsenabschnitt (wo die Gerade
Zeichne den Graphen in das Koordinatensystem: $$ y = \tfrac{3}{2}x-1 $$ Weiterlesen »
Aufgabe: Graph zeichnen Lösung Gegeben ist die Funktion: y = 2×2 + 4x − 3 1) Wichtige Idee: In Scheitelpunktform umformen Damit man eine Parabel schnell zeichnen kann, ist es am einfachsten, zuerst den Scheitelpunkt zu finden. Das geht gut durch quadratische Ergänzung. Starte mit: y = 2×2 + 4x − 3 Faktoriere bei den
$$ \text{Zeichne den Graphen in das Koordinatensystem: } y = 2x^2 + 4x – 3 $$ Weiterlesen »
Aufgabe: Graph zeichnen Lösung Gegeben ist die Funktion: \(y = (x-3)^2\) 1) Funktionsform erkennen (Scheitelpunktform) Die Funktion ist bereits in der Scheitelpunktform: \[ y = (x-a)^2 + b \] Dabei ist der Scheitelpunkt \(S(a|b)\). Hier gilt: \(a = 3\) und \(b = 0\). Also liegt der Scheitelpunkt bei: \[ S(3|0) \] 2) Öffnung und Form
$$ \text{Zeichne den Graphen in das Koordinatensystem: } y = (x-3)^2 $$ Weiterlesen »
