Lösung Thema: Ableitung mit \(\sin x\) Gegeben: \[ f(x)=(6-x)\cdot \sin x \] 1) Welche Regel braucht man? Da \(f(x)\) ein Produkt aus zwei Funktionen ist, benutzt man die Produktregel: \[ (u\cdot v)‘ = u’\cdot v + u\cdot v‘ \] 2) Funktionen aufteilen Setze: \[ u(x)=6-x \qquad\text{und}\qquad v(x)=\sin x \] 3) Einzelne Ableitungen bilden Ableitung von
$$ f(x) = (6- x) \times \sin x $$ Weiterlesen »
Thema: Ableitung (Formelsammlung) Lösung Gegeben \(f(x)=4\arccos(x)\) Ziel Bestimme \(f'(x)\). Schritt-für-Schritt-Lösung 1) Konstante Faktorregel anwenden Hier steht eine Konstante \(4\) vor der Funktion \(\arccos(x)\). Dafür gilt die Regel: \[ \frac{d}{dx}\bigl(c\cdot g(x)\bigr)=c\cdot g'(x) \] Also: \[ f'(x)=4\cdot \frac{d}{dx}\bigl(\arccos(x)\bigr) \] 2) Ableitung von \(\arccos(x)\) aus der Formelsammlung Aus der Formelsammlung (bzw. den Standardableitungen) weiß man: \[ \frac{d}{dx}\bigl(\arccos(x)\bigr)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]
$$ f(x) = 4\arccos x $$ Weiterlesen »
Ableitung (Formelsammlung) Lösung Gegeben \( f(x) = \sin(x) \) Gesucht Die Ableitung \( f'(x) \). Lösungsidee Bei Aufgaben zur Formelsammlung der Ableitungen nutzt man grundlegende Standardregeln. Eine der wichtigsten Grundableitungen lautet: \( \dfrac{d}{dx}\big(\sin(x)\big) = \cos(x) \) Schritte Erkenne, dass \( f(x) \) genau die Grundfunktion \( \sin(x) \) ist (keine Kettenregel nötig, weil innen nur
$$ f(x) = \sin (x) $$ Weiterlesen »
Ableitung (Formelsammlung) Lösung Gegeben \(f(x) = \cos(x)\) Ziel Die Ableitung \(f'(x)\) bestimmen. Schritt-für-Schritt-Lösung 1) Passende Ableitungsregel auswählen Hier handelt es sich um eine Grundfunktion aus der trigonometrischen Formelsammlung. Für die Kosinusfunktion gilt die Standardregel: \(\dfrac{d}{dx}\big(\cos(x)\big) = -\sin(x)\) 2) Regel direkt anwenden Da \(f(x)\) genau \(\cos(x)\) ist (also kein zusätzlicher Faktor und keine innere Funktion wie
$$ f(x) = \cos (x) $$ Weiterlesen »
Thema: Faktorregel + Potenzregel Lösung Gegeben \(y = 10\sqrt{x}\) Ziel Bestimme \(y’\) mit Faktorregel und Potenzregel. Schritt 1: Wurzel als Potenz schreiben Die Potenzregel funktioniert am besten, wenn keine Wurzel mehr da steht. Merke: \[ \sqrt{x} = x^{\frac12}. \] Also wird die Funktion: \[ y = 10\sqrt{x} = 10x^{\frac12}. \] Schritt 2: Faktorregel anwenden Die
$$ y = 10\sqrt{x} $$ Weiterlesen »
Rechnen mit Geld: Addition Lösung Aufgabe: 18,25 € + 6,75 € Schritt-für-Schritt-Lösung Beim Rechnen mit Geld ist es am einfachsten, die Beträge untereinander zu schreiben, sodass Komma unter Komma steht (Euro-Teil über Euro-Teil, Cent-Teil über Cent-Teil). 18,25 € + 6,75 € 1) Cent addieren Addiere zuerst die Cent: 25 Cent + 75 Cent = 100 Cent. Wichtig: 100 Cent sind genau
Thema: Wurzel ziehen Lösung Aufgabe: \(a^2 = 49\) Schritt-für-Schritt-Lösung Erkenne die Form der Gleichung: Es steht eine Variable im Quadrat. Allgemein gilt: Wenn \(x^2 = c\), dann erhält man \(x\), indem man die Wurzel zieht. Ziehe auf beiden Seiten die Quadratwurzel: \[ \sqrt{a^2} = \sqrt{49} \] Beachte den wichtigen Punkt: \(\sqrt{a^2}\) ist nicht einfach nur
Aufgabe: Addition von 3 Zahlen bis 20 Lösung Gegeben: 1 + 9 + 8 Schritt-für-Schritt-Lösung Geschickt zusammenfassen: Suche zuerst zwei Zahlen, die zusammen eine „runde“ Zahl ergeben (z.B. 10). Hier passen 1 und 9 sehr gut zusammen. Also rechnest du zuerst: 1 + 9 = 10 Jetzt die dritte Zahl dazu addieren: Nun steht da:
Thema: Faktorregel + Potenzregel Lösung Gegeben \( y = \frac{1}{x^2} \) Ziel Bestimme \(y’\) mit Faktorregel und Potenzregel. Schritt 1: Funktion in Potenzschreibweise umformen Brüche mit \(x\) im Nenner lassen sich als negative Potenzen schreiben: \[ \frac{1}{x^2} = x^{-2} \] Also gilt: \[ y = x^{-2} \] Schritt 2: Potenzregel anwenden Die Potenzregel lautet: \[
$$ y = \frac{1}{x^2} $$ Weiterlesen »
Thema: Addition von 3 Zahlen bis 20 Lösung Aufgabe: \(5 + 6 + 7\) Schritt-für-Schritt-Lösung Überlege dir eine günstige Reihenfolge. Bei drei Zahlen darfst du zuerst zwei Zahlen zusammenrechnen und danach die dritte dazuzählen. Oft ist es leichter, wenn man zuerst Zahlen so kombiniert, dass eine „runde“ oder bekannte Summe entsteht. Erst zwei Zahlen addieren:
