Thema: Trigonometrische Identitäten Lösung Aufgabe Vereinfache den Term: \[ \frac{\tan x}{\sin x} \] Wichtige Identität Nutze die Grundbeziehung zwischen Tangens, Sinus und Kosinus: \[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \] Schritt-für-Schritt-Lösung Ersetze \(\tan x\) durch \(\frac{\sin x}{\cos x}\): \[ \frac{\tan x}{\sin x} = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\sin x} \] Durch einen Bruch teilen bedeutet: mit
$$ \frac{\tan x}{\sin x} $$ Weiterlesen »
Thema: Stammfunktionen von E-Funktionen Lösung Gegeben: \( f(x)=\frac{3}{5}e^{5x} \) Gesucht: Eine Stammfunktion \(F(x)\) mit \(F'(x)=f(x)\). Schritt 1: Passende Grundregel erkennen Eine wichtige Regel lautet: \[ \int e^{ax}\,dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C \quad (a\neq 0) \] Denn wenn man \(\frac{1}{a}e^{ax}\) ableitet, kommt durch die Kettenregel der Faktor \(a\) dazu, und es bleibt wieder \(e^{ax}\) übrig. Schritt 2: Den Vorfaktor mitnehmen
$$ f(x)=\frac{3}{5}e^{5x} $$ Weiterlesen »
Aufgabe Lösung Berechne das bestimmte Integral \[ \int_{0}^{1}\left(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\right)\,dx. \] Als Stammfunktion ist gegeben: \(\,F(x)=\sqrt{x}\). Schritt 1: Integrand verstehen (Potenzschreibweise) Der Integrand ist \[ \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}. \] Beachte: \(x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}\). Das ist bei \(x=0\) nicht definiert, daher handelt es sich um ein uneigentliches Integral. Schritt 2: Uneigentliches Integral als Grenzwert schreiben Weil der Ausdruck bei \(x=0\) problematisch ist,
$$ \int_{0}^{1} \left(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\right)\,dx $$ Weiterlesen »
Thema: Bestimmtes Integral Lösung Aufgabe: \(\displaystyle \int_{1}^{2} (3x^2+2x)\,dx\) Gegebene Stammfunktion (Kontrolle): \(F(x)=x^3+x^2\) 1) Idee: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Für eine Stammfunktion \(F\) von \(f\) gilt: \[ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) – F(a). \] Hier ist \(f(x)=3x^2+2x\), \(a=1\), \(b=2\). 2) Prüfen/Verstehen der Stammfunktion Wir leiten \(F(x)=x^3+x^2\) ab: \[ F'(x) = 3x^2 + 2x. \] Das
$$ \int_{1}^{2} (3x^2+2x)\,dx $$ Weiterlesen »
Aufgabe: Bestimmtes Integral Lösung Gegeben ist das Integral \(\displaystyle \int_{1}^{3} (2x + 1)\,dx\). Als Stammfunktion ist angegeben: \(\,F(x)=x^2+x\). Schritt 1: Idee (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) Für ein bestimmtes Integral gilt: \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) – F(a)\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist (also \(F'(x)=f(x)\)). Schritt 2: Prüfen, ob die Stammfunktion passt Wir
$$ \int_{1}^{9} \sqrt{x}\,dx $$ Weiterlesen »
Aufgabe: Kommazahlen vergleichen Lösung Vergleiche: \(35{.}101 \;\_\_\_\_\; 35{.}11\) Schritt-für-Schritt-Erklärung Gleiche zuerst den ganzzahligen Teil ab. Beide Zahlen haben den ganzzahligen Teil \(35\). Also entscheidet der Teil nach dem Komma. Bringe beide Dezimalzahlen auf gleich viele Nachkommastellen. \(35{.}101\) hat 3 Nachkommastellen. \(35{.}11\) hat 2 Nachkommastellen, das kannst du als \(35{.}110\) schreiben (eine Null anhängen ändert den
$$ 35.101 \_\_\_\_ 35.11 $$ Weiterlesen »
Geld zählen Lösung Um diese Aufgabe zu lösen, müssen wir die Werte der verschiedenen Geldscheine und Münzen auf beiden Seiten der Gleichung addieren und vergleichen. Schritt-für-Schritt-Anleitung: Linke Seite: 1 mal 50€: \(1 \times 50 = 50\) 3 mal 10€: \(3 \times 10 = 30\) 2 mal 20ct: \(2 \times 0,20 = 0,40\) Nun addieren wir
1 mal 50€, 3 mal 10€ und 2 mal 20ct ___ 1 mal 50€, 6 mal 5€ und 1 mal 50ct Weiterlesen »
Zahlen bis 100 vergleichen Lösung In dieser Aufgabe sollen wir eine Zahl finden, die zwischen zwei Ausdrücken liegt: \(12 \times 5 + 6\) und \(13 \times 6 + 6\). Schritte zur Lösung Berechne den ersten Ausdruck: \(12 \times 5 + 6\) Zuerst multiplizieren wir \(12\) mit \(5\): \(12 \times 5 = 60\) Dann addieren wir
$$ 12\times 5+6<\_\_<13\times 6+6 $$ Weiterlesen »
Aufgabe Lösung Thema: Division von Dezimalzahlen durch 10, 100 und 1000. Rechnung: 1200,45 ÷ 1000 Schritt-für-Schritt-Lösung (ohne Endergebnis auszurechnen) 1) Regel verstehen Wenn man durch 10, 100 oder 1000 teilt, dann wandert das Komma nach links: durch 10 → Komma 1 Stelle nach links durch 100 → Komma 2 Stellen nach links durch 1000 →
$$ 1200,45 \div 1000 $$ Weiterlesen »
Bruchgleichungen Stufe 1 Lösung Aufgabe: \(\frac{11x}{2x^2} = 4 \quad (x \ne 0)\) 1) Definitionsmenge / Einschränkung Im Nenner steht \(2x^2\). Damit der Bruch definiert ist, darf der Nenner nicht \(0\) sein: \(2x^2 \ne 0 \Rightarrow x^2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 0\). Diese Bedingung ist bereits angegeben und muss am Ende beachtet werden. 2) Bruch
$$ \frac{11x}{2x^2} = 4 \quad (x \ne 0) $$ Weiterlesen »
