Thema: Stammfunktionen einfacher Funktionen Lösung Aufgabe Gegeben ist die Funktion \( f(x)=\frac{4}{x^3} \) Gesucht ist eine Stammfunktion \(F(x)\), also eine Funktion mit \(F'(x)=f(x)\). Schritt 1: Funktion als Potenz schreiben Damit man die Potenzregel fürs Integrieren anwenden kann, schreibt man den Bruch als Potenz: \[ \frac{4}{x^3} = 4 \cdot x^{-3} \] Schritt 2: Konstante ausklammern Die
$$ f(x)=\frac{4}{x^3} $$ Weiterlesen »
Thema: Stammfunktionen von sin und cos Lösung Aufgabe Gegeben ist die Funktion f(x) = \(\sin x – 9\) Bestimme eine Stammfunktion \(F(x)\), also eine Funktion mit \(F'(x)=f(x)\). Vorgehensweise (Schritt für Schritt) 1) Lineare Zerlegung nutzen Da die Ableitung (und damit auch das Integrieren) linear ist, darfst du die Funktion in zwei Teile zerlegen: \[ \int
$$ f(x)=\sin x-9 $$ Weiterlesen »
Thema: Stammfunktionen von sin und cos Lösung Aufgabe Gegeben ist die Funktion \(f(x)=\sin x+2\cos x+2\). Bestimme eine Stammfunktion \(F(x)\), also eine Funktion mit \(F'(x)=f(x)\). Wichtige Grundregeln \(\displaystyle \int \sin x\,dx = -\cos x + C\), denn \(\frac{d}{dx}(-\cos x)=\sin x\). \(\displaystyle \int \cos x\,dx = \sin x + C\), denn \(\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\). \(\displaystyle \int a\cdot
$$ f(x)=\sin x+2\cos x+2 $$ Weiterlesen »
Thema: Trigonometrische Identitäten Lösung Aufgabe Vereinfache den Ausdruck: \(\dfrac{\sin x}{\cos x}\) Schritt-für-Schritt-Lösung (ohne Endergebnis auszuschreiben) Erkenne die passende Grundidentität. Eine der wichtigsten Definitionen ist die des Tangens: \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\) Vergleiche den gegebenen Term mit der Definition. Der gegebene Bruch hat im Zähler \(\sin x\) und im Nenner \(\cos x\). Das entspricht
$$ \frac{\sin x}{\cos x} $$ Weiterlesen »
Thema: Trigonometrische Identitäten Lösung Aufgabe Vereinfache den Term: \[ \frac{\tan x}{\sin x} \] Wichtige Identität Nutze die Grundbeziehung zwischen Tangens, Sinus und Kosinus: \[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \] Schritt-für-Schritt-Lösung Ersetze \(\tan x\) durch \(\frac{\sin x}{\cos x}\): \[ \frac{\tan x}{\sin x} = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\sin x} \] Durch einen Bruch teilen bedeutet: mit
$$ \frac{\tan x}{\sin x} $$ Weiterlesen »
Thema: Stammfunktionen von E-Funktionen Lösung Gegeben: \( f(x)=\frac{3}{5}e^{5x} \) Gesucht: Eine Stammfunktion \(F(x)\) mit \(F'(x)=f(x)\). Schritt 1: Passende Grundregel erkennen Eine wichtige Regel lautet: \[ \int e^{ax}\,dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C \quad (a\neq 0) \] Denn wenn man \(\frac{1}{a}e^{ax}\) ableitet, kommt durch die Kettenregel der Faktor \(a\) dazu, und es bleibt wieder \(e^{ax}\) übrig. Schritt 2: Den Vorfaktor mitnehmen
$$ f(x)=\frac{3}{5}e^{5x} $$ Weiterlesen »
Aufgabe: Kommazahlen vergleichen Lösung Vergleiche: \(35{.}101 \;\_\_\_\_\; 35{.}11\) Schritt-für-Schritt-Erklärung Gleiche zuerst den ganzzahligen Teil ab. Beide Zahlen haben den ganzzahligen Teil \(35\). Also entscheidet der Teil nach dem Komma. Bringe beide Dezimalzahlen auf gleich viele Nachkommastellen. \(35{.}101\) hat 3 Nachkommastellen. \(35{.}11\) hat 2 Nachkommastellen, das kannst du als \(35{.}110\) schreiben (eine Null anhängen ändert den
$$ 35.101 \_\_\_\_ 35.11 $$ Weiterlesen »
Aufgabe: Bestimmtes Integral Lösung Gegeben ist das Integral \(\displaystyle \int_{1}^{3} (2x + 1)\,dx\). Als Stammfunktion ist angegeben: \(\,F(x)=x^2+x\). Schritt 1: Idee (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) Für ein bestimmtes Integral gilt: \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) – F(a)\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist (also \(F'(x)=f(x)\)). Schritt 2: Prüfen, ob die Stammfunktion passt Wir
$$ \int_{1}^{9} \sqrt{x}\,dx $$ Weiterlesen »
Thema: Bestimmtes Integral Lösung Aufgabe: \(\displaystyle \int_{1}^{2} (3x^2+2x)\,dx\) Gegebene Stammfunktion (Kontrolle): \(F(x)=x^3+x^2\) 1) Idee: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Für eine Stammfunktion \(F\) von \(f\) gilt: \[ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) – F(a). \] Hier ist \(f(x)=3x^2+2x\), \(a=1\), \(b=2\). 2) Prüfen/Verstehen der Stammfunktion Wir leiten \(F(x)=x^3+x^2\) ab: \[ F'(x) = 3x^2 + 2x. \] Das
$$ \int_{1}^{2} (3x^2+2x)\,dx $$ Weiterlesen »
Aufgabe Lösung Berechne das bestimmte Integral \[ \int_{0}^{1}\left(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\right)\,dx. \] Als Stammfunktion ist gegeben: \(\,F(x)=\sqrt{x}\). Schritt 1: Integrand verstehen (Potenzschreibweise) Der Integrand ist \[ \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}. \] Beachte: \(x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}\). Das ist bei \(x=0\) nicht definiert, daher handelt es sich um ein uneigentliches Integral. Schritt 2: Uneigentliches Integral als Grenzwert schreiben Weil der Ausdruck bei \(x=0\) problematisch ist,
$$ \int_{0}^{1} \left(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\right)\,dx $$ Weiterlesen »
