Sin x Ableitung Aufgabenstellung \(y = 32 \times \sin(1.2x)\) Lösung Thema: Ableitung von sin(x) Gegeben: \(y = 32 \cdot \sin(1{,}2x)\) Ziel: \(y’\) mit allen Rechenschritten bestimmen. 1) Wichtige Ableitungsregeln Konstantenfaktorregel: \(\frac{d}{dx}\big(c \cdot f(x)\big) = c \cdot f'(x)\) Ableitung von Sinus: \(\frac{d}{dx}(\sin(u)) = \cos(u)\cdot u’\) (das ist die Kettenregel) 2) Funktion in „außen“ und „innen“
Sin x Ableitung Aufgabenstellung \(y = 2 \times \sin(5x)\) Lösung Thema: Ableitung von sin und Kettenregel Aufgabe Gegeben ist: y = 2 × sin(5x). Bestimme y‘. Schritt-für-Schritt-Lösung 1) Funktion erkennen (Produkt aus Zahl und Sinus) Die Funktion besteht aus einem konstanten Faktor 2 und einem Sinus: y = 2 · sin(5x). Wichtig: Der Faktor 2
Sin x Ableitung Aufgabenstellung \(y = 35 \times \sin(\tfrac{3}{5}x)\) Lösung Thema: Sinus ableiten (Kettenregel) Gegeben \( y = 35 \cdot \sin\!\left(\tfrac{3}{5}x\right) \) (Kontroll-Ergebnis: \( y‘ = 21 \cdot \cos\!\left(\tfrac{3}{5}x\right) \)) Schritt 1: Äußere und innere Funktion erkennen Die Funktion hat die Form „Konstante · sin( … )“. Wichtig ist, dass im Sinus nicht einfach \(x\)
E-Funktion Ableitung Aufgabenstellung y = e^x Lösung Thema: E-Funktion – Ableitung Aufgabe Gegeben ist die Funktion y = ex. Bestimme die Ableitung y‘. Schritt-für-Schritt-Lösung 1) Erkennen der Funktionsart Die Funktion ex ist eine Exponentialfunktion zur Basis e. Diese spezielle Exponentialfunktion hat eine besonders einfache Ableitungsregel. 2) Wichtige Grundregel Eine der wichtigsten Ableitungsregeln lautet: (ex)‘ =
Sin x Ableitung Aufgabenstellung \(y = 9 \times \sin(3x)\) Lösung Thema: Sin(x) ableiten Aufgabe Gegeben ist die Funktion \(y = 9 \cdot \sin(3x)\). Gesucht ist \(y’\). Schritt-für-Schritt-Lösung (ohne Endergebnis auszuschreiben) 1) Äußere und innere Funktion erkennen Die Funktion hat die Form „Konstante × Sinus von etwas“: Äußere Funktion: \(\sin(\,\square\,)\) Innere Funktion: \(u(x) = 3x\) Konstanter
Sin x Ableitung Aufgabenstellung \(y = 36 \times \sin(10x)\) Lösung Thema: Ableitung von sin(x) (Kettenregel) Gegeben \( y = 36 \cdot \sin(10x) \) Ziel Bestimme die Ableitung \(y’\). Schritt 1: Struktur erkennen (äußere und innere Funktion) Die Funktion ist eine Verkettung: Äußere Funktion: \( \sin(u) \) Innere Funktion: \( u = 10x \) Zusätzlicher Faktor
Sin x Ableitung Aufgabenstellung \(y = 13 \times \sin(\tfrac{4}{5}x)\) Lösung Thema: Sinus ableiten (mit Kettenregel) Gegeben: \( y = 13 \cdot \sin\!\left(\tfrac{4}{5}x\right) \) Schritt 1: Äußere und innere Funktion erkennen Hier liegt eine verkettete Funktion vor: Äußere Funktion: \( \sin(u) \) Innere Funktion: \( u(x) = \tfrac{4}{5}x \) Schritt 2: Kettenregel aufschreiben Die Kettenregel lautet:
Sin x Ableitung Aufgabenstellung \(y = 18 \times \sin(\tfrac{1}{6}x)\) Lösung Thema: Sinus ableiten (Kettenregel) Gegeben \( y = 18 \cdot \sin\!\left(\tfrac{1}{6}x\right) \) Ziel Bestimme \(y’\). Schritt 1: Äußere und innere Funktion erkennen Hier ist die Funktion eine Verkettung: Äußere Funktion: \( \sin(u) \) Innere Funktion: \( u(x) = \tfrac{1}{6}x \) Zusätzlicher Faktor vor der Sinusfunktion:
Faktorregel + Potenzregel Aufgabenstellung y = 10\sqrt{x} Lösung Thema: Faktorregel + Potenzregel Gegeben \(y = 10\sqrt{x}\) Ziel Bestimme \(y’\) mit Faktorregel und Potenzregel. Schritt 1: Wurzel als Potenz schreiben Die Potenzregel funktioniert am besten, wenn keine Wurzel mehr da steht. Merke: \[ \sqrt{x} = x^{\frac12}. \] Also wird die Funktion: \[ y = 10\sqrt{x} =
Ableitung Formelsammlung Aufgabenstellung \(f(x) = \cos (x)\) Lösung Ableitung (Formelsammlung) Gegeben \(f(x) = \cos(x)\) Ziel Die Ableitung \(f'(x)\) bestimmen. Schritt-für-Schritt-Lösung 1) Passende Ableitungsregel auswählen Hier handelt es sich um eine Grundfunktion aus der trigonometrischen Formelsammlung. Für die Kosinusfunktion gilt die Standardregel: \(\dfrac{d}{dx}\big(\cos(x)\big) = -\sin(x)\) 2) Regel direkt anwenden Da \(f(x)\) genau \(\cos(x)\) ist (also kein
