Faktorregel + Potenzregel Aufgabenstellung \(y = \frac{1}{x}\) Lösung Thema: Faktorregel + Potenzregel Gegeben \( y = \frac{1}{x} \) Ziel Bestimme \(y’\) mit Faktorregel und Potenzregel. Schritt 1: Bruch als Potenz schreiben Die Potenzregel kann man am einfachsten anwenden, wenn man den Bruch als Potenz schreibt: \[ \frac{1}{x} = x^{-1} \] Also gilt: \[ y =
Faktorregel + Potenzregel Aufgabenstellung y = 5 Lösung Thema: Faktorregel + Potenzregel Gegeben \(y = 5\) Ziel Bestimme die Ableitung \(y’\). Schritt-für-Schritt-Lösung 1) Funktionstyp erkennen Die Funktion \(y = 5\) ist eine konstante Funktion, weil sich der Funktionswert nicht mit \(x\) ändert. 2) Konstante als Potenz schreiben (optional, um die Potenzregel zu sehen) Man kann
Faktorregel + Potenzregel Aufgabenstellung y = \sqrt{x} Lösung Thema: Faktorregel + Potenzregel Aufgabe Gegeben ist die Funktion \(y=\sqrt{x}\). Bestimme \(y’\). Schritt 1: Wurzel als Potenz schreiben Die Potenzregel kann man am besten anwenden, wenn keine Wurzel mehr da steht. Deshalb schreiben wir: \[ \sqrt{x} = x^{\frac12}. \] Also ist \[ y = x^{\frac12}. \] Schritt
Faktorregel + Potenzregel Aufgabenstellung y = x^7 Lösung Faktorregel + Potenzregel Aufgabe Gegeben ist die Funktion \(y = x^7\). Bestimme die Ableitung \(y’\). Schritt-für-Schritt-Lösung 1) Passende Regel erkennen Die Funktion ist eine reine Potenzfunktion der Form \(\;x^n\;\) mit \(\;n=7\). Dafür nutzt man die Potenzregel: \[ \frac{d}{dx}\left(x^n\right) = n \cdot x^{n-1}. \] 2) Potenzregel anwenden Setze
Bruchgleichungen Stufe 1 Aufgabenstellung \(\frac{33x}{6x^2} = 3\) \((x \ne 0)\) Lösung Aufgabe: Bruchgleichungen Stufe 1 Gegeben: \(\frac{33x}{6x^2} = 3 \quad (x \ne 0)\) 1) Definitionsmenge beachten Im Nenner steht \(6x^2\). Damit der Bruch definiert ist, darf der Nenner nicht \(0\) sein: \(6x^2 \ne 0 \Rightarrow x^2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 0\). Das passt zur
33x/(6x) = 3 (x 0) Bruchgleichung lsen Weiterlesen »
Bruchgleichungen Stufe 1 Aufgabenstellung \(\frac{7x}{x^2} = 1\) \((x \ne 0)\) Lösung Gegeben \(\dfrac{7x}{x^2} = 1\) mit der Bedingung \(x \ne 0\). Schritt 1: Definitionsmenge beachten Weil im Nenner \(x^2\) steht, darf \(x\) nicht \(0\) sein, sonst wäre eine Division durch \(0\) vorhanden. Also gilt: \(x \ne 0\). Schritt 2: Bruch vereinfachen Schreibe den Bruch so,
7x/x2 = 1 (x 0) Bruchgleichung lösen Weiterlesen »
Exponent berechnen mit Logarithmus Aufgabenstellung 9^x = 81 Lösung Thema: Exponent berechnen mit Logarithmus Aufgabe \(9^x = 81\) Schritt-für-Schritt-Lösung 1) Idee: Logarithmus als „Umkehrung“ der Potenz Ein Logarithmus beantwortet genau die Frage: „Zu welcher Potenz muss ich die Basis erheben, um den gegebenen Wert zu erhalten?“ Allgemein gilt: \[ a^x = b \quad \Longleftrightarrow \quad
Wurzel ziehen Aufgabenstellung a^2=49 Lösung Thema: Wurzel ziehen Aufgabe: \(a^2 = 49\) Schritt-für-Schritt-Lösung Erkenne die Form der Gleichung: Es steht eine Variable im Quadrat. Allgemein gilt: Wenn \(x^2 = c\), dann erhält man \(x\), indem man die Wurzel zieht. Ziehe auf beiden Seiten die Quadratwurzel: \[ \sqrt{a^2} = \sqrt{49} \] Beachte den wichtigen Punkt: \(\sqrt{a^2}\)
Exponent berechnen mit Logarithmus Aufgabenstellung 3^x = 243 Lösung Thema: Exponent berechnen mit Logarithmus Aufgabe: \(3^x = 243\) Schritt-für-Schritt-Lösung 1) Bedeutung der Gleichung verstehen Die Gleichung \(3^x = 243\) fragt: Mit welcher Potenz muss man die 3 potenzieren, damit 243 herauskommt? Genau dafür ist der Logarithmus da: Allgemein gilt die Umformungsregel: \[ a^x = b
Exponent berechnen mit Logarithmus Aufgabenstellung 2^x = 16 Lösung Thema: Exponent berechnen mit Logarithmus Aufgabe \(2^x = 16\) Idee Wenn die Unbekannte im Exponenten steht, hilft der Logarithmus: Aus \(a^x=b\) wird durch Logarithmieren zur Basis \(a\): \[ x = \log_a(b). \] Hier ist \(a=2\) und \(b=16\), also: \[ x = \log_2(16). \] Schritt-für-Schritt-Lösung Starte mit
