Thema: Stammfunktionen einfacher Funktionen Lösung Gegeben: \( f(x)=2x^{-3} \) Gesucht: Eine Stammfunktion \(F(x)\), also eine Funktion mit \(F'(x)=f(x)\). Schritt 1: Potenzregel für Stammfunktionen erkennen Für Potenzen gilt (für \(n\neq -1\)): Wenn \(f(x)=a\cdot x^n\), dann ist eine Stammfunktion \[ F(x)=a\cdot \frac{x^{n+1}}{n+1}+C. \] Schritt 2: Werte einsetzen Hier ist \(a=2\) und \(n=-3\). Also ist \(n+1=-3+1=-2\). Setze in
$$ f(x)=2x^{-3} $$ Weiterlesen »
Doppelbruch berechnen (Stufe 1) Lösung Aufgabe: \(\dfrac{\frac{8}{3}}{5}\) Schritt-für-Schritt-Lösung Ein Doppelbruch bedeutet: „Ein Bruch wird durch eine Zahl (oder einen anderen Bruch) geteilt.“ Hier wird also \(\frac{8}{3}\) durch \(5\) geteilt. 1) Division durch eine Zahl als Multiplikation schreiben Durch \(5\) teilen ist dasselbe wie mit \(\frac{1}{5}\) multiplizieren: \[ \frac{\frac{8}{3}}{5} = \frac{8}{3} : 5 = \frac{8}{3} \cdot
$$ \frac{\frac{8}{3}}{5} $$ Weiterlesen »
Aufgabe: Bruchgleichungen (Stufe 2) Lösung Gegeben: \[ \frac{9}{x-1}+\frac{3}{x+5}=0 \qquad (x\ne 1,\;x\ne -5). \] 1) Definitionsmenge festlegen Da im Nenner \(x-1\) und \(x+5\) stehen, dürfen diese nicht 0 werden: \(x-1\neq 0 \Rightarrow x\neq 1\) \(x+5\neq 0 \Rightarrow x\neq -5\) 2) Auf gemeinsamen Nenner bringen Der gemeinsame Nenner ist \((x-1)(x+5)\). Multipliziere daher jeden Bruch so, dass er
$$ \frac{9}{x-1}+\frac{3}{x+5}=0 \qquad (x\ne 1,\;x\ne -5) $$ Weiterlesen »
Aufgabe Lösung \((+1{,}7)\times(-2{,}3)\) Schritt-für-Schritt-Lösung 1) Vorzeichen klären Hier wird eine positive Zahl mit einer negativen Zahl multipliziert. Bei der Multiplikation gilt: + mal − ergibt − Das Ergebnis wird also negativ sein. Jetzt rechnen wir erst einmal nur die Beträge (also ohne Vorzeichen): \(\;1{,}7 \times 2{,}3\). 2) Dezimalzahlen zunächst wie ganze Zahlen multiplizieren Schreibe die
$$ (+1.7) \times (-2.3) $$ Weiterlesen »
Aufgabe: 62,08 × 100 Lösung Grundidee Beim Multiplizieren mit 10, 100, 1000 verschiebt man das Komma nach rechts: × 10 → Komma 1 Stelle nach rechts × 100 → Komma 2 Stellen nach rechts × 1000 → Komma 3 Stellen nach rechts Schritt-für-Schritt Gegeben ist die Zahl 62,08. Das Komma steht zwischen 62 und 08.
$$ 62,08 \times 100 $$ Weiterlesen »
Doppelbruch berechnen (Stufe 1) Lösung Aufgabe: \(\displaystyle \frac{\frac{12}{3}}{2}\) Schritt-für-Schritt-Lösung Ein Doppelbruch ist ein Bruch, in dessen Zähler oder Nenner nochmal ein Bruch steht. Hier steht im Zähler der Bruch \(\frac{12}{3}\) und darunter wird durch \(2\) geteilt: \(\displaystyle \frac{\frac{12}{3}}{2} = \left(\frac{12}{3}\right) : 2\) Wichtige Regel: Durch eine Zahl teilen ist dasselbe wie mit ihrem Kehrwert multiplizieren.
$$ \frac{\frac{12}{3}}{2} $$ Weiterlesen »
Assoziativgesetz (Addition) Lösung Aufgabe: \((18+5)+7\) Hinweis zur richtigen Umformung: \(18+(5+7)\) Schritt-für-Schritt-Erklärung Beim Assoziativgesetz (auch Klammergesetz) der Addition gilt: \( (a+b)+c = a+(b+c) \) Das bedeutet: Wenn man nur addiert, darf man die Klammern anders setzen, ohne dass sich der Wert ändert. 1) Struktur der Aufgabe erkennen Die Aufgabe hat die Form \((a+b)+c\), denn zuerst wird
Aufgabe: Passende Zahlen finden Lösung Gegeben: \(2 < \square < 3\) Schritt-für-Schritt-Erklärung Die Ungleichung \(2 < \square < 3\) bedeutet: Die gesuchte Zahl (im Kästchen) soll größer als 2 und gleichzeitig kleiner als 3 sein. Überlege dir nun Zahlen, die zwischen 2 und 3 liegen. Das können z.B. Dezimalzahlen sein: \(2{,}1\), \(2{,}2\), \(2{,}3\), \(2{,}4\), \(2{,}5\),
$$ 2 < \square < 3 $$ Weiterlesen »
Aufgabe Lösung Vereinfache den Term: \(2 \times a \times 0{,}5 \times a\) Schritt-für-Schritt-Lösung (ohne Endergebnis) 1) Zahlenfaktoren und Variablenfaktoren trennen In einem Produkt darfst du die Faktoren umsortieren (Kommutativgesetz) und passend zusammenfassen. Gruppiere deshalb zuerst die Zahlen und dann die Variablen: \[ 2 \times a \times 0{,}5 \times a = (2 \times 0{,}5) \times (a
$$ 2 \times a \times 0{,}5 \times a $$ Weiterlesen »
Aufgabe Lösung \((+1{,}2)\times(-3)\) Schritt-für-Schritt-Lösung 1) Vorzeichen klären Hier wird eine positive Zahl mit einer negativen Zahl multipliziert. Für die Vorzeichenregel gilt: Plus · Minus = Minus Das Ergebnis wird also negativ sein. (Das Vorzeichen merken wir uns schon einmal.) 2) Beträge (ohne Vorzeichen) multiplizieren Jetzt rechnen wir erst einmal nur mit den Beträgen: \(|1{,}2| \times
$$ (+1.2) \times (-3) $$ Weiterlesen »
